Страница 231 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1014. Золушка $\frac{11}{20}$ ч убирала комнаты, что на $\frac{2}{15}$ ч больше времени, которое она затратила на мытьё посуды. Сколько времени заняли у Золушки уборка и мытьё посуды?

Для решения задачи необходимо выполнить два действия: сначала найти время, которое Золушка потратила на мытьё посуды, а затем сложить это время со временем, потраченным на уборку.

1. Найдём, сколько времени Золушка потратила на мытьё посуды.

По условию, на уборку комнат ушло $\frac{11}{20}$ часа, что на $\frac{2}{15}$ часа больше, чем на мытьё посуды. Следовательно, чтобы найти время, затраченное на мытьё посуды, нужно из времени на уборку вычесть эту разницу.

Выполним вычитание дробей. Для этого приведём их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 20 и 15 — это 60.

$\frac{11}{20} - \frac{2}{15} = \frac{11 \cdot 3}{20 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{33}{60} - \frac{8}{60} = \frac{33 - 8}{60} = \frac{25}{60}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$\frac{25}{60} = \frac{5}{12}$

Таким образом, на мытьё посуды Золушка потратила $\frac{5}{12}$ часа.

2. Найдём, сколько всего времени заняли уборка и мытьё посуды.

Теперь сложим время, потраченное на уборку, и время, потраченное на мытьё посуды.

$\frac{11}{20} + \frac{5}{12}$

Приведём дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 20 и 12 — это 60.

$\frac{11}{20} + \frac{5}{12} = \frac{11 \cdot 3}{20 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{33}{60} + \frac{25}{60} = \frac{33 + 25}{60} = \frac{58}{60}$

Сократим итоговую дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{58}{60} = \frac{29}{30}$

Ответ: $\frac{29}{30}$ ч.

1015. На завтрак медвежонок съел $\frac{2}{9}$ горшочка мёда, что на $\frac{2}{15}$ меньше, чем он съел на обед. Какую часть горшочка мёда медвежонок съел на завтрак и на обед?

Для решения задачи необходимо выполнить два действия: сначала найти, какую часть горшочка мёда медвежонок съел на обед, а затем сложить эту часть с той, что он съел на завтрак.

1. Найдём, какую часть горшочка мёда медвежонок съел на обед.

По условию, на завтрак он съел $\frac{2}{9}$ горшочка, что на $\frac{2}{15}$ меньше, чем на обед. Это означает, что на обед он съел на $\frac{2}{15}$ горшочка больше, чем на завтрак. Чтобы найти эту часть, нужно сложить дроби:

$\frac{2}{9} + \frac{2}{15}$

Для сложения дробей приведём их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 15 — это 45.

Домножим первую дробь на 5, а вторую на 3:

$\frac{2 \cdot 5}{9 \cdot 5} + \frac{2 \cdot 3}{15 \cdot 3} = \frac{10}{45} + \frac{6}{45} = \frac{16}{45}$

Таким образом, на обед медвежонок съел $\frac{16}{45}$ горшочка мёда.

2. Найдём, какую часть горшочка мёда медвежонок съел на завтрак и на обед вместе.

Теперь сложим часть мёда, съеденную на завтрак, и часть, съеденную на обед:

$\frac{2}{9} + \frac{16}{45}$

Приведём дробь $\frac{2}{9}$ к знаменателю 45, домножив числитель и знаменатель на 5:

$\frac{2 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{10}{45}$

Теперь выполним сложение:

$\frac{10}{45} + \frac{16}{45} = \frac{10 + 16}{45} = \frac{26}{45}$

Всего на завтрак и на обед медвежонок съел $\frac{26}{45}$ горшочка мёда.

Ответ: $\frac{26}{45}$

1016. Найдите сумму:

1) $4\frac{5}{9} + 7\frac{1}{6};$

2) $6\frac{11}{12} + 8\frac{13}{18};$

3) $2\frac{3}{16} + 1\frac{7}{24} + 3\frac{1}{12}.$

1) Чтобы найти сумму смешанных чисел $4\frac{5}{9}$ и $7\frac{1}{6}$, сложим отдельно их целые и дробные части:

$4\frac{5}{9} + 7\frac{1}{6} = (4+7) + (\frac{5}{9} + \frac{1}{6})$

Складываем целые части:

$4 + 7 = 11$

Складываем дробные части. Для этого приведем дроби $\frac{5}{9}$ и $\frac{1}{6}$ к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 6 это 18.

$\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{10}{18}$

$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{3}{18}$

Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{10}{18} + \frac{3}{18} = \frac{10+3}{18} = \frac{13}{18}$

Складываем результат сложения целых и дробных частей:

$11 + \frac{13}{18} = 11\frac{13}{18}$

Ответ: $11\frac{13}{18}$

2) Найдем сумму $6\frac{11}{12}$ и $8\frac{13}{18}$. Сложим отдельно целые и дробные части.

$6\frac{11}{12} + 8\frac{13}{18} = (6+8) + (\frac{11}{12} + \frac{13}{18})$

Складываем целые части:

$6 + 8 = 14$

Складываем дробные части. Найдем наименьший общий знаменатель для 12 и 18. Наименьшее общее кратное (НОК) для 12 и 18 равно 36.

Приведем дроби к знаменателю 36:

$\frac{11}{12} = \frac{11 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{33}{36}$

$\frac{13}{18} = \frac{13 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{26}{36}$

Сложим полученные дроби:

$\frac{33}{36} + \frac{26}{36} = \frac{33+26}{36} = \frac{59}{36}$

Дробь $\frac{59}{36}$ является неправильной. Выделим из нее целую часть:

$\frac{59}{36} = 1\frac{23}{36}$

Теперь сложим сумму целых частей и сумму дробных частей:

$14 + 1\frac{23}{36} = 15\frac{23}{36}$

Ответ: $15\frac{23}{36}$

3) Найдем сумму $2\frac{3}{16} + 1\frac{7}{24} + 3\frac{1}{12}$. Сначала сложим целые части, а затем дробные.

Сумма целых частей:

$2 + 1 + 3 = 6$

Сумма дробных частей:

$\frac{3}{16} + \frac{7}{24} + \frac{1}{12}$

Найдем наименьший общий знаменатель для 16, 24 и 12. НОК(16, 24, 12) = 48.

Приведем все дроби к знаменателю 48:

$\frac{3}{16} = \frac{3 \cdot 3}{16 \cdot 3} = \frac{9}{48}$

$\frac{7}{24} = \frac{7 \cdot 2}{24 \cdot 2} = \frac{14}{48}$

$\frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 4}{12 \cdot 4} = \frac{4}{48}$

Сложим полученные дроби:

$\frac{9}{48} + \frac{14}{48} + \frac{4}{48} = \frac{9+14+4}{48} = \frac{27}{48}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 27 и 48 равен 3.

$\frac{27}{48} = \frac{27 \div 3}{48 \div 3} = \frac{9}{16}$

Сложим результат сложения целых частей и дробных частей:

$6 + \frac{9}{16} = 6\frac{9}{16}$

Ответ: $6\frac{9}{16}$

1017. Найдите сумму:

1) $5\frac{7}{8} + 6\frac{3}{10}$;

2) $6\frac{3}{8} + 2\frac{5}{9}$;

3) $1\frac{8}{21} + 4\frac{3}{14} + 2\frac{2}{7}$.

1) $5\frac{7}{8} + 6\frac{3}{10}$

Чтобы сложить смешанные числа, нужно сложить отдельно их целые и дробные части. Сначала сложим целые части:

$5 + 6 = 11$

Теперь сложим дробные части: $\frac{7}{8} + \frac{3}{10}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 8 и 10 равно 40. Найдем дополнительные множители для каждой дроби:

Для $\frac{7}{8}$ дополнительный множитель: $40 \div 8 = 5$.

Для $\frac{3}{10}$ дополнительный множитель: $40 \div 10 = 4$.

Приведем дроби к знаменателю 40:

$\frac{7}{8} = \frac{7 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{35}{40}$

$\frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 4}{10 \cdot 4} = \frac{12}{40}$

Сложим полученные дроби:

$\frac{35}{40} + \frac{12}{40} = \frac{35+12}{40} = \frac{47}{40}$

Так как получилась неправильная дробь, выделим из нее целую часть:

$\frac{47}{40} = 1\frac{7}{40}$

Теперь сложим результат сложения целых частей и результат сложения дробных частей:

$11 + 1\frac{7}{40} = 12\frac{7}{40}$

Ответ: $12\frac{7}{40}$

2) $6\frac{3}{8} + 2\frac{5}{9}$

Сложим отдельно целые и дробные части. Сумма целых частей:

$6 + 2 = 8$

Сумма дробных частей: $\frac{3}{8} + \frac{5}{9}$. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 8 и 9 равно 72.

$\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 9}{8 \cdot 9} = \frac{27}{72}$

$\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 8}{9 \cdot 8} = \frac{40}{72}$

Сложим полученные дроби:

$\frac{27}{72} + \frac{40}{72} = \frac{27+40}{72} = \frac{67}{72}$

Получилась правильная дробь. Теперь сложим результат с суммой целых частей:

$8 + \frac{67}{72} = 8\frac{67}{72}$

Ответ: $8\frac{67}{72}$

3) $1\frac{8}{21} + 4\frac{3}{14} + 2\frac{2}{7}$

Сложим отдельно целые и дробные части. Сумма целых частей:

$1 + 4 + 2 = 7$

Сумма дробных частей: $\frac{8}{21} + \frac{3}{14} + \frac{2}{7}$. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 21, 14 и 7 равно 42.

$\frac{8}{21} = \frac{8 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{16}{42}$

$\frac{3}{14} = \frac{3 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{9}{42}$

$\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 6}{7 \cdot 6} = \frac{12}{42}$

Сложим полученные дроби:

$\frac{16}{42} + \frac{9}{42} + \frac{12}{42} = \frac{16 + 9 + 12}{42} = \frac{37}{42}$

Получилась правильная дробь. Теперь сложим результат с суммой целых частей:

$7 + \frac{37}{42} = 7\frac{37}{42}$

Ответ: $7\frac{37}{42}$

1018. Вычислите значение выражения:

1) $8\frac{9}{14}-3\frac{3}{7}$;

2) $7\frac{5}{12}-3\frac{7}{24}$;

3) $12\frac{11}{12}-5\frac{13}{18}$.

1) $8 \frac{9}{14} - 3 \frac{3}{7}$

Для вычитания смешанных чисел необходимо привести их дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 14 и 7 равен 14. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на 2:

$\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{6}{14}$

Теперь выражение выглядит так:

$8 \frac{9}{14} - 3 \frac{6}{14}$

Выполним вычитание целых и дробных частей по отдельности:

$8 - 3 = 5$

$\frac{9}{14} - \frac{6}{14} = \frac{9-6}{14} = \frac{3}{14}$

Сложим полученные результаты:

$5 + \frac{3}{14} = 5 \frac{3}{14}$

Ответ: $5 \frac{3}{14}$

2) $7 \frac{5}{12} - 3 \frac{7}{24}$

Приведем дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 12 и 24 равен 24. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 2:

$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{10}{24}$

Получаем выражение:

$7 \frac{10}{24} - 3 \frac{7}{24}$

Вычтем отдельно целые и дробные части:

$7 - 3 = 4$

$\frac{10}{24} - \frac{7}{24} = \frac{10-7}{24} = \frac{3}{24}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$\frac{3}{24} = \frac{3 \div 3}{24 \div 3} = \frac{1}{8}$

Соединяем целую и дробную части:

$4 + \frac{1}{8} = 4 \frac{1}{8}$

Ответ: $4 \frac{1}{8}$

3) $12 \frac{11}{12} - 5 \frac{13}{18}$

Найдем наименьший общий знаменатель для 12 и 18. Наименьшее общее кратное (НОК) для 12 и 18 равно 36.

Приведем дроби к знаменателю 36. Дополнительный множитель для первой дроби $36 \div 12 = 3$. Для второй дроби $36 \div 18 = 2$.

$\frac{11}{12} = \frac{11 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{33}{36}$

$\frac{13}{18} = \frac{13 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{26}{36}$

Теперь вычтем смешанные числа:

$12 \frac{33}{36} - 5 \frac{26}{36}$

Вычитаем целые и дробные части отдельно:

$12 - 5 = 7$

$\frac{33}{36} - \frac{26}{36} = \frac{33-26}{36} = \frac{7}{36}$

Объединяем результаты:

$7 + \frac{7}{36} = 7 \frac{7}{36}$

Ответ: $7 \frac{7}{36}$

1019. Выполните вычитание:

1) $3\frac{1}{12} - \frac{1}{6};$

2) $8\frac{7}{30} - 2\frac{9}{20};$

3) $7\frac{10}{51} - 4\frac{21}{34};$

4) $5\frac{1}{4} - 1\frac{3}{8}.$

1) Чтобы выполнить вычитание $3\frac{1}{12} - \frac{1}{6}$, сначала приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 12 и 6 равен 12. Домножим вторую дробь на 2:

$ \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12} $

Теперь выражение выглядит так: $3\frac{1}{12} - \frac{2}{12}$. Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{1}{12}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{2}{12}$), нужно "занять" единицу у целой части:

$ 3\frac{1}{12} = 2 + 1 + \frac{1}{12} = 2 + \frac{12}{12} + \frac{1}{12} = 2\frac{13}{12} $

Теперь выполняем вычитание:

$ 2\frac{13}{12} - \frac{2}{12} = 2\frac{13-2}{12} = 2\frac{11}{12} $

Ответ: $2\frac{11}{12}$.

2) Рассмотрим выражение $8\frac{7}{30} - 2\frac{9}{20}$. Найдем наименьший общий знаменатель для 30 и 20. $НОК(30, 20) = 60$. Приведем дроби к этому знаменателю:

$ \frac{7}{30} = \frac{7 \cdot 2}{30 \cdot 2} = \frac{14}{60} $

$ \frac{9}{20} = \frac{9 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{27}{60} $

Получаем: $8\frac{14}{60} - 2\frac{27}{60}$. Дробная часть уменьшаемого ($\frac{14}{60}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{27}{60}$), поэтому занимаем единицу у целой части:

$ 8\frac{14}{60} = 7 + 1 + \frac{14}{60} = 7 + \frac{60}{60} + \frac{14}{60} = 7\frac{74}{60} $

Выполняем вычитание целых и дробных частей отдельно:

$ 7\frac{74}{60} - 2\frac{27}{60} = (7-2) + (\frac{74}{60} - \frac{27}{60}) = 5 + \frac{47}{60} = 5\frac{47}{60} $

Ответ: $5\frac{47}{60}$.

3) Решим пример $7\frac{10}{51} - 4\frac{21}{34}$. Найдем наименьший общий знаменатель для 51 и 34. Разложим их на простые множители: $51 = 3 \cdot 17$, $34 = 2 \cdot 17$. $НОК(51, 34) = 2 \cdot 3 \cdot 17 = 102$. Приведем дроби к знаменателю 102:

$ \frac{10}{51} = \frac{10 \cdot 2}{51 \cdot 2} = \frac{20}{102} $

$ \frac{21}{34} = \frac{21 \cdot 3}{34 \cdot 3} = \frac{63}{102} $

Выражение принимает вид: $7\frac{20}{102} - 4\frac{63}{102}$. Поскольку $\frac{20}{102} < \frac{63}{102}$, занимаем единицу у целой части:

$ 7\frac{20}{102} = 6 + 1 + \frac{20}{102} = 6 + \frac{102}{102} + \frac{20}{102} = 6\frac{122}{102} $

Теперь вычитаем:

$ 6\frac{122}{102} - 4\frac{63}{102} = (6-4) + (\frac{122}{102} - \frac{63}{102}) = 2 + \frac{59}{102} = 2\frac{59}{102} $

Ответ: $2\frac{59}{102}$.

4) Выполним вычитание $5\frac{1}{4} - 1\frac{3}{8}$. Наименьший общий знаменатель для 4 и 8 равен 8. Приведем первую дробь к этому знаменателю:

$ \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{2}{8} $

Получаем выражение: $5\frac{2}{8} - 1\frac{3}{8}$. Дробная часть $\frac{2}{8}$ меньше, чем $\frac{3}{8}$, поэтому занимаем единицу у целой части 5:

$ 5\frac{2}{8} = 4 + 1 + \frac{2}{8} = 4 + \frac{8}{8} + \frac{2}{8} = 4\frac{10}{8} $

Производим вычитание:

$ 4\frac{10}{8} - 1\frac{3}{8} = (4-1) + (\frac{10}{8} - \frac{3}{8}) = 3 + \frac{7}{8} = 3\frac{7}{8} $

Ответ: $3\frac{7}{8}$.

1020. Выполните вычитание:

1) $4\frac{3}{16} - \frac{5}{8}$;

2) $6\frac{4}{9} - 3\frac{6}{7}$;

3) $10\frac{11}{24} - 8\frac{19}{36}$;

4) $9\frac{1}{6} - 5\frac{3}{4}$.

1) $4\frac{3}{16} - \frac{5}{8}$

Для выполнения вычитания необходимо привести дроби к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для 16 и 8 является 16.

Приведем дробь $\frac{5}{8}$ к знаменателю 16, умножив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 2}{8 \cdot 2} = \frac{10}{16}$

Теперь исходное выражение выглядит так:

$4\frac{3}{16} - \frac{10}{16}$

Дробная часть уменьшаемого ($\frac{3}{16}$) меньше, чем дробная часть вычитаемого ($\frac{10}{16}$). Поэтому нужно "занять" единицу у целой части (4). Представим 4 как $3 + 1$, а 1 как $\frac{16}{16}$.

$4\frac{3}{16} = 3 + 1 + \frac{3}{16} = 3 + \frac{16}{16} + \frac{3}{16} = 3\frac{19}{16}$

Теперь можно выполнить вычитание:

$3\frac{19}{16} - \frac{10}{16} = 3\frac{19-10}{16} = 3\frac{9}{16}$

Ответ: $3\frac{9}{16}$

2) $6\frac{4}{9} - 3\frac{6}{7}$

Найдем наименьший общий знаменатель для 9 и 7. Так как числа 9 и 7 взаимно простые, их наименьший общий знаменатель равен их произведению: $9 \cdot 7 = 63$.

Приведем дробные части к знаменателю 63:

$\frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 7}{9 \cdot 7} = \frac{28}{63}$

$\frac{6}{7} = \frac{6 \cdot 9}{7 \cdot 9} = \frac{54}{63}$

Выражение принимает вид:

$6\frac{28}{63} - 3\frac{54}{63}$

Так как $\frac{28}{63} < \frac{54}{63}$, занимаем единицу у целой части уменьшаемого (6):

$6\frac{28}{63} = 5 + 1 + \frac{28}{63} = 5 + \frac{63}{63} + \frac{28}{63} = 5\frac{91}{63}$

Выполним вычитание целых и дробных частей отдельно:

$5\frac{91}{63} - 3\frac{54}{63} = (5-3) + (\frac{91}{63} - \frac{54}{63}) = 2 + \frac{91-54}{63} = 2\frac{37}{63}$

Ответ: $2\frac{37}{63}$

3) $10\frac{11}{24} - 8\frac{19}{36}$

Найдем наименьший общий знаменатель для 24 и 36. Разложим числа на простые множители:

$24 = 2^3 \cdot 3$

$36 = 2^2 \cdot 3^2$

Наименьшее общее кратное (НОК) будет произведением наибольших степеней простых множителей: НОК(24, 36) = $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$.

Приведем дроби к знаменателю 72:

$\frac{11}{24} = \frac{11 \cdot 3}{24 \cdot 3} = \frac{33}{72}$

$\frac{19}{36} = \frac{19 \cdot 2}{36 \cdot 2} = \frac{38}{72}$

Получаем выражение: $10\frac{33}{72} - 8\frac{38}{72}$.

Поскольку $\frac{33}{72} < \frac{38}{72}$, занимаем единицу у целой части уменьшаемого (10):

$10\frac{33}{72} = 9 + 1 + \frac{33}{72} = 9 + \frac{72}{72} + \frac{33}{72} = 9\frac{105}{72}$

Теперь выполним вычитание:

$9\frac{105}{72} - 8\frac{38}{72} = (9-8) + (\frac{105}{72} - \frac{38}{72}) = 1 + \frac{105-38}{72} = 1\frac{67}{72}$

Ответ: $1\frac{67}{72}$

4) $9\frac{1}{6} - 5\frac{3}{4}$

Найдем наименьший общий знаменатель для 6 и 4. НОК(6, 4) = 12.

Приведем дробные части к знаменателю 12:

$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12}$

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$

Выражение принимает вид:

$9\frac{2}{12} - 5\frac{9}{12}$

Дробная часть уменьшаемого ($\frac{2}{12}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{9}{12}$), поэтому занимаем единицу у целой части (9):

$9\frac{2}{12} = 8 + 1 + \frac{2}{12} = 8 + \frac{12}{12} + \frac{2}{12} = 8\frac{14}{12}$

Выполним вычитание:

$8\frac{14}{12} - 5\frac{9}{12} = (8-5) + (\frac{14}{12} - \frac{9}{12}) = 3 + \frac{14-9}{12} = 3\frac{5}{12}$

Ответ: $3\frac{5}{12}$

1021. Решите уравнение:

1) $x + 7\frac{4}{15} = 9\frac{7}{10}$;

2) $8\frac{9}{14} - x = 4\frac{3}{7}$;

3) $x - 3\frac{8}{9} = 5\frac{1}{12}$.

1) $x + 7\frac{4}{15} = 9\frac{7}{10}$
Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы $9\frac{7}{10}$ вычесть известное слагаемое $7\frac{4}{15}$.
$x = 9\frac{7}{10} - 7\frac{4}{15}$
Приведем дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 10 и 15 это 30.
$x = 9\frac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3} - 7\frac{4 \cdot 2}{15 \cdot 2} = 9\frac{21}{30} - 7\frac{8}{30}$
Вычтем целые и дробные части по отдельности:
$x = (9 - 7) + (\frac{21}{30} - \frac{8}{30}) = 2 + \frac{13}{30} = 2\frac{13}{30}$
Ответ: $2\frac{13}{30}$

2) $8\frac{9}{14} - x = 4\frac{3}{7}$
Чтобы найти неизвестное вычитаемое $x$, нужно из уменьшаемого $8\frac{9}{14}$ вычесть разность $4\frac{3}{7}$.
$x = 8\frac{9}{14} - 4\frac{3}{7}$
Приведем дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 14 и 7 это 14.
$x = 8\frac{9}{14} - 4\frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} = 8\frac{9}{14} - 4\frac{6}{14}$
Вычтем целые и дробные части по отдельности:
$x = (8 - 4) + (\frac{9}{14} - \frac{6}{14}) = 4 + \frac{3}{14} = 4\frac{3}{14}$
Ответ: $4\frac{3}{14}$

3) $x - 3\frac{8}{9} = 5\frac{1}{12}$
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое $x$, нужно к разности $5\frac{1}{12}$ прибавить вычитаемое $3\frac{8}{9}$.
$x = 5\frac{1}{12} + 3\frac{8}{9}$
Приведем дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 12 и 9 это 36.
$x = 5\frac{1 \cdot 3}{12 \cdot 3} + 3\frac{8 \cdot 4}{9 \cdot 4} = 5\frac{3}{36} + 3\frac{32}{36}$
Сложим целые и дробные части по отдельности:
$x = (5 + 3) + (\frac{3}{36} + \frac{32}{36}) = 8 + \frac{35}{36} = 8\frac{35}{36}$
Ответ: $8\frac{35}{36}$

1022. Решите уравнение:

1) $6 \frac{3}{11} + x = 10 \frac{6}{7};$

2) $9 \frac{5}{36} - x = 2 \frac{4}{9};$

3) $x - 5 \frac{17}{60} = 7 \frac{9}{20}.$

1) $6\frac{3}{11} + x = 10\frac{6}{7}$

В данном уравнении $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти его, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$x = 10\frac{6}{7} - 6\frac{3}{11}$

Для вычитания смешанных чисел приведем их дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 11 равен $7 \cdot 11 = 77$.

$x = 10\frac{6 \cdot 11}{7 \cdot 11} - 6\frac{3 \cdot 7}{11 \cdot 7}$

$x = 10\frac{66}{77} - 6\frac{21}{77}$

Теперь вычтем отдельно целые и дробные части:

$x = (10 - 6) + (\frac{66}{77} - \frac{21}{77}) = 4 + \frac{45}{77} = 4\frac{45}{77}$

Ответ: $4\frac{45}{77}$

2) $9\frac{5}{36} - x = 2\frac{4}{9}$

В этом уравнении $x$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти его, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$x = 9\frac{5}{36} - 2\frac{4}{9}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 36 и 9 равен 36.

$x = 9\frac{5}{36} - 2\frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4}$

$x = 9\frac{5}{36} - 2\frac{16}{36}$

Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{5}{36}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{16}{36}$), необходимо "занять" единицу у целой части уменьшаемого:

$9\frac{5}{36} = 8 + 1 + \frac{5}{36} = 8 + \frac{36}{36} + \frac{5}{36} = 8\frac{41}{36}$

Теперь выполним вычитание:

$x = 8\frac{41}{36} - 2\frac{16}{36} = (8 - 2) + (\frac{41}{36} - \frac{16}{36}) = 6 + \frac{25}{36} = 6\frac{25}{36}$

Ответ: $6\frac{25}{36}$

3) $x - 5\frac{17}{60} = 7\frac{9}{20}$

Здесь $x$ — неизвестное уменьшаемое. Чтобы его найти, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$x = 7\frac{9}{20} + 5\frac{17}{60}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 20 и 60 равен 60.

$x = 7\frac{9 \cdot 3}{20 \cdot 3} + 5\frac{17}{60}$

$x = 7\frac{27}{60} + 5\frac{17}{60}$

Сложим отдельно целые и дробные части:

$x = (7 + 5) + (\frac{27}{60} + \frac{17}{60}) = 12 + \frac{44}{60}$

Сократим дробную часть. Разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 4:

$\frac{44}{60} = \frac{44 \div 4}{60 \div 4} = \frac{11}{15}$

Таким образом, $x = 12\frac{11}{15}$.

Ответ: $12\frac{11}{15}$

1023. Собственная скорость теплохода составляет $20\frac{2}{7}$ км/ч, а скорость течения реки – $2\frac{11}{14}$ км/ч. Найдите скорость теплохода по течению реки и его скорость против течения.

Для решения этой задачи необходимо определить скорость теплохода при движении по течению и против течения реки. Обозначим:

• собственную скорость теплохода как $v_{с} = 20\frac{2}{7}$ км/ч;
• скорость течения реки как $v_{т} = 2\frac{11}{14}$ км/ч.

Скорость теплохода по течению реки

Чтобы найти скорость теплохода по течению, нужно сложить его собственную скорость и скорость течения реки.
Формула: $v_{по\ течению} = v_{с} + v_{т}$
Подставим данные значения:
$v_{по\ течению} = 20\frac{2}{7} + 2\frac{11}{14}$
Для сложения смешанных чисел приведем их дробные части к общему знаменателю. Общий знаменатель для 7 и 14 — это 14.
$20\frac{2}{7} = 20\frac{2 \cdot 2}{7 \cdot 2} = 20\frac{4}{14}$
Теперь выполним сложение:
$20\frac{4}{14} + 2\frac{11}{14} = (20 + 2) + (\frac{4}{14} + \frac{11}{14}) = 22 + \frac{15}{14}$
Дробь $\frac{15}{14}$ является неправильной, выделим из нее целую часть:
$\frac{15}{14} = 1\frac{1}{14}$
Добавим целую часть к результату:
$22 + 1\frac{1}{14} = 23\frac{1}{14}$ км/ч.
Ответ: $23\frac{1}{14}$ км/ч.

Скорость теплохода против течения

Чтобы найти скорость теплохода против течения, нужно из его собственной скорости вычесть скорость течения реки.
Формула: $v_{против\ течения} = v_{с} - v_{т}$
Подставим данные значения:
$v_{против\ течения} = 20\frac{2}{7} - 2\frac{11}{14} = 20\frac{4}{14} - 2\frac{11}{14}$
Дробная часть уменьшаемого ($\frac{4}{14}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{11}{14}$), поэтому "займем" единицу у целой части уменьшаемого:
$20\frac{4}{14} = 19 + 1 + \frac{4}{14} = 19 + \frac{14}{14} + \frac{4}{14} = 19\frac{18}{14}$
Теперь выполним вычитание:
$19\frac{18}{14} - 2\frac{11}{14} = (19 - 2) + (\frac{18}{14} - \frac{11}{14}) = 17 + \frac{7}{14} = 17\frac{7}{14}$
Сократим дробную часть:
$\frac{7}{14} = \frac{1}{2}$
Таким образом, скорость против течения равна $17\frac{1}{2}$ км/ч.
Ответ: $17\frac{1}{2}$ км/ч.

1024. Скорость катера по течению реки составляет $27\frac{1}{3}$ км/ч, а скорость течения – $1\frac{4}{9}$ км/ч. Найдите собственную скорость катера и скорость катера против течения реки.

Собственная скорость катера

Скорость катера по течению реки ($v_{по}$) равна сумме собственной скорости катера ($v_{соб}$) и скорости течения ($v_{теч}$). Формула выглядит так:
$v_{по} = v_{соб} + v_{теч}$
Чтобы найти собственную скорость катера, нужно из скорости по течению вычесть скорость течения:
$v_{соб} = v_{по} - v_{теч}$
Подставим известные значения из условия задачи:
$v_{соб} = 27\frac{1}{3} - 1\frac{4}{9}$
Для выполнения вычитания необходимо привести дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 9 — это 9.
$27\frac{1}{3} = 27\frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 3} = 27\frac{3}{9}$
Теперь выражение для вычисления выглядит так:
$v_{соб} = 27\frac{3}{9} - 1\frac{4}{9}$
Поскольку дробная часть уменьшаемого ($\frac{3}{9}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{4}{9}$), необходимо занять единицу у целой части уменьшаемого:
$27\frac{3}{9} = 26 + 1 + \frac{3}{9} = 26 + \frac{9}{9} + \frac{3}{9} = 26\frac{12}{9}$
Теперь можно выполнить вычитание:
$v_{соб} = 26\frac{12}{9} - 1\frac{4}{9} = (26 - 1) + (\frac{12}{9} - \frac{4}{9}) = 25\frac{8}{9}$ км/ч.
Ответ: собственная скорость катера равна $25\frac{8}{9}$ км/ч.

Скорость катера против течения реки

Скорость катера против течения реки ($v_{пр}$) равна разности собственной скорости катера ($v_{соб}$) и скорости течения ($v_{теч}$). Формула:
$v_{пр} = v_{соб} - v_{теч}$
Мы уже вычислили собственную скорость катера ($v_{соб} = 25\frac{8}{9}$ км/ч) и знаем скорость течения ($v_{теч} = 1\frac{4}{9}$ км/ч). Подставим эти значения в формулу:
$v_{пр} = 25\frac{8}{9} - 1\frac{4}{9}$
Выполним вычитание целых и дробных частей:
$v_{пр} = (25 - 1) + (\frac{8}{9} - \frac{4}{9}) = 24\frac{4}{9}$ км/ч.
Ответ: скорость катера против течения реки равна $24\frac{4}{9}$ км/ч.