Страница 239 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: голубой, зелёный
ISBN: 978-5-09-105796-6
Популярные ГДЗ в 5 классе
Cтраница 239

№1 (с. 239)
Условие. №1 (с. 239)
скриншот условия

1. Сформулируйте правило умножения дроби на натуральное число.
Решение. №1 (с. 239)

Решение 2. №1 (с. 239)
Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, необходимо числитель этой дроби умножить на данное натуральное число, а знаменатель оставить без изменения.
В виде формулы это правило записывается следующим образом:
$\frac{a}{b} \cdot n = \frac{a \cdot n}{b}$
где $\frac{a}{b}$ — обыкновенная дробь, а $n$ — натуральное число.
Данное правило следует из того, что любое натуральное число $n$ можно представить в виде дроби со знаменателем 1, то есть $n = \frac{n}{1}$. Тогда умножение дроби на натуральное число сводится к умножению двух дробей, при котором перемножаются их числители и знаменатели:
$\frac{a}{b} \cdot n = \frac{a}{b} \cdot \frac{n}{1} = \frac{a \cdot n}{b \cdot 1} = \frac{a \cdot n}{b}$
Пример:
Умножим дробь $\frac{4}{9}$ на число $2$.
$\frac{4}{9} \cdot 2 = \frac{4 \cdot 2}{9} = \frac{8}{9}$
Если в результате умножения получается неправильная дробь (у которой числитель больше знаменателя или равен ему), из нее принято выделять целую часть.
Пример:
$\frac{5}{8} \cdot 5 = \frac{5 \cdot 5}{8} = \frac{25}{8} = 3\frac{1}{8}$
Для умножения смешанного числа на натуральное число, его сначала нужно представить в виде неправильной дроби, а затем применить основное правило.
Пример:
Умножим $2\frac{1}{3}$ на $5$.
1. Переводим смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.
2. Умножаем полученную дробь на натуральное число: $\frac{7}{3} \cdot 5 = \frac{7 \cdot 5}{3} = \frac{35}{3}$.
3. Переводим результат обратно в смешанное число: $\frac{35}{3} = 11\frac{2}{3}$.
Также важно помнить о возможности сокращения дроби. Если натуральный множитель и знаменатель дроби имеют общие делители, то дробь можно сократить до или после умножения.
Пример:
$\frac{5}{12} \cdot 8 = \frac{5 \cdot 8}{12}$. Здесь число 8 (в числителе) и число 12 (в знаменателе) имеют общий делитель 4. Сократим их:
$\frac{5 \cdot 8}{12} = \frac{5 \cdot (2 \cdot 4)}{3 \cdot 4} = \frac{5 \cdot 2}{3} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$.
Ответ: Чтобы умножить дробь на натуральное число, нужно ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.
№2 (с. 239)
Условие. №2 (с. 239)
скриншот условия

2. Какая дробь является произведением двух дробей?
Решение. №2 (с. 239)

Решение 2. №2 (с. 239)
Произведением двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей этих дробей, а знаменатель — произведению их знаменателей.
Это правило можно выразить следующей формулой. Пусть даны две дроби: $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$. Их произведение вычисляется так:
$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$
Рассмотрим на примере умножения дробей $\frac{2}{5}$ и $\frac{3}{4}$:
1. Находим произведение числителей: $2 \cdot 3 = 6$. Это будет числитель результата.
2. Находим произведение знаменателей: $5 \cdot 4 = 20$. Это будет знаменатель результата.
3. Записываем полученную дробь: $\frac{6}{20}$.
$\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 4} = \frac{6}{20}$
При необходимости полученную дробь можно сократить. В нашем примере числитель и знаменатель делятся на 2:
$\frac{6}{20} = \frac{6 \div 2}{20 \div 2} = \frac{3}{10}$
Ответ: Произведением двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей исходных дробей.
№3 (с. 239)
Условие. №3 (с. 239)
скриншот условия

Какой дробь является произведением двух дробей.
3. Чему равно произведение дроби и числа 0?
Решение. №3 (с. 239)

Решение 2. №3 (с. 239)
Произведение любой дроби на число 0 всегда равно нулю. Это одно из фундаментальных свойств умножения в математике: при умножении любого числа (включая дроби) на ноль, результат всегда будет ноль.
Давайте докажем это формально. Возьмем любую дробь, которую можно представить в виде $ \frac{a}{b} $, где $ a $ — это числитель, а $ b $ — знаменатель (причем $ b \neq 0 $).
Теперь умножим эту дробь на 0. Число 0 можно представить в виде дроби, например, $ \frac{0}{1} $.
Выполним умножение по правилу умножения дробей (числитель умножается на числитель, а знаменатель — на знаменатель):
$ \frac{a}{b} \times 0 = \frac{a}{b} \times \frac{0}{1} = \frac{a \times 0}{b \times 1} $
Поскольку произведение любого числа на 0 равно 0, числитель новой дроби будет равен $ a \times 0 = 0 $. Знаменатель будет равен $ b \times 1 = b $.
В результате мы получаем дробь:
$ \frac{0}{b} $
Любая дробь, у которой числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, равна нулю.
Следовательно, произведение дроби и числа 0 равно 0.
Ответ: 0.
№4 (с. 239)
Условие. №4 (с. 239)
скриншот условия

4. Какие свойства умножения выполняются при умножении дробей?
Решение. №4 (с. 239)

Решение 2. №4 (с. 239)
При умножении дробей выполняются те же свойства, что и для умножения натуральных чисел. Основными из них являются переместительное, сочетательное и распределительное свойства.
Переместительное свойство умножения
Это свойство гласит, что от перестановки множителей-дробей произведение не меняется. Это позволяет менять дроби местами при умножении для удобства вычислений.
В буквенном виде это выглядит так: $ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{c}{d} \cdot \frac{a}{b} $.
Например: $ \frac{2}{7} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 5} = \frac{6}{35} $. Если поменять множители местами: $ \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{7} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 7} = \frac{6}{35} $. Результат остался прежним.
Сочетательное свойство умножения
Это свойство позволяет группировать множители в любом порядке. Чтобы произведение двух дробей умножить на третью, можно первую дробь умножить на произведение второй и третьей.
В буквенном виде: $ (\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}) \cdot \frac{p}{q} = \frac{a}{b} \cdot (\frac{c}{d} \cdot \frac{p}{q}) $.
Например: $ (\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}) \cdot \frac{2}{5} = \frac{3}{12} \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10} $. Если сгруппировать иначе: $ \frac{1}{3} \cdot (\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{20} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10} $. Результат совпадает.
Распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания
Чтобы умножить дробь на сумму или разность двух других дробей, можно умножить эту дробь на каждую из них по отдельности и полученные произведения сложить или вычесть.
В буквенном виде для сложения: $ \frac{a}{b} \cdot (\frac{c}{d} + \frac{p}{q}) = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} + \frac{a}{b} \cdot \frac{p}{q} $.
Например: $ \frac{2}{5} \cdot (\frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = \frac{2}{5} \cdot (\frac{2}{4} + \frac{1}{4}) = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} $. Если применить свойство: $ \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{10} + \frac{2}{20} = \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10} $. Результаты равны.
Также для умножения дробей справедливы свойства, связанные с умножением на единицу и ноль.
Умножение на единицу
При умножении любой дроби на единицу (которую можно представить как $ \frac{1}{1} $ или любую другую дробь, где числитель равен знаменателю) получается та же самая дробь.
$ \frac{a}{b} \cdot 1 = \frac{a}{b} $.
Например: $ \frac{9}{13} \cdot 1 = \frac{9}{13} $.
Умножение на ноль
При умножении любой дроби на ноль в результате всегда получается ноль.
$ \frac{a}{b} \cdot 0 = 0 $.
Например: $ \frac{5}{8} \cdot 0 = 0 $.
Ответ: При умножении дробей выполняются переместительное, сочетательное и распределительное свойства умножения, а также свойства умножения на единицу и на ноль.
№1 (с. 239)
Условие. №1 (с. 239)
скриншот условия

1. Найдите значение выражения:
1) $ \frac{5 \cdot 2}{15}; $
2) $ \frac{6 \cdot 7}{7 \cdot 8}; $
3) $ \frac{4 \cdot 9}{27 \cdot 2}; $
4) $ \frac{10 \cdot 18}{36 \cdot 25}. $
Решение. №1 (с. 239)

Решение 2. №1 (с. 239)
1) Для того чтобы найти значение выражения $\frac{5 \cdot 2}{15}$, сначала вычислим произведение в числителе: $5 \cdot 2 = 10$. В результате получим дробь $\frac{10}{15}$. Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 5. Выполним деление: $10 \div 5 = 2$ и $15 \div 5 = 3$.
Таким образом, $\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$.
Также можно было разложить знаменатель на множители $15 = 3 \cdot 5$ и сократить общий множитель 5:
$\frac{5 \cdot 2}{15} = \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{\sout{5} \cdot 2}{3 \cdot \sout{5}} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.
2) В выражении $\frac{6 \cdot 7}{7 \cdot 8}$ число 7 является общим множителем в числителе и знаменателе. Сократим дробь на 7:
$\frac{6 \cdot \sout{7}}{\sout{7} \cdot 8} = \frac{6}{8}$.
Полученную дробь $\frac{6}{8}$ можно также сократить, так как числитель и знаменатель делятся на 2: $6 \div 2 = 3$ и $8 \div 2 = 4$.
В результате получаем $\frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.
3) Рассмотрим выражение $\frac{4 \cdot 9}{27 \cdot 2}$. Для его упрощения можно сокращать множители в числителе и знаменателе.
Сократим 9 в числителе и 27 в знаменателе на 9 (так как $27 = 3 \cdot 9$):
$\frac{4 \cdot 9}{27 \cdot 2} = \frac{4 \cdot \sout{9}}{3 \cdot \sout{9} \cdot 2} = \frac{4}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}$.
Теперь сократим 4 в числителе и 2 в знаменателе на 2:
$\frac{4}{3 \cdot 2} = \frac{2 \cdot \sout{2}}{3 \cdot \sout{2}} = \frac{2}{3}$.
Можно было сначала сократить 4 и 2, а потом 9 и 27:
$\frac{4 \cdot 9}{27 \cdot 2} = \frac{\sout{4}^2 \cdot \sout{9}^1}{\sout{27}^3 \cdot \sout{2}^1} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.
4) Чтобы найти значение выражения $\frac{10 \cdot 18}{36 \cdot 25}$, будем последовательно сокращать множители.
Сократим 18 и 36 на 18 (так как $36 = 2 \cdot 18$):
$\frac{10 \cdot 18}{36 \cdot 25} = \frac{10 \cdot \sout{18}}{2 \cdot \sout{18} \cdot 25} = \frac{10}{2 \cdot 25}$.
Теперь сократим 10 и 25 на 5 (так как $10 = 2 \cdot 5$ и $25 = 5 \cdot 5$):
$\frac{10}{2 \cdot 25} = \frac{2 \cdot \sout{5}}{2 \cdot 5 \cdot \sout{5}} = \frac{2}{2 \cdot 5}$.
Наконец, сократим на 2:
$\frac{\sout{2}}{\sout{2} \cdot 5} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$.
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.