Страница 239 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Математика, 5 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2023, голубого цвета

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: голубой, зелёный

ISBN: 978-5-09-105796-6

Популярные ГДЗ в 5 классе

Cтраница 239

Математика, 5 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2023, голубого цвета, страница 239
№1 (с. 239)
Условие. №1 (с. 239)
скриншот условия
Математика, 5 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2023, голубого цвета, страница 239, номер 1, Условие

1. Сформулируйте правило умножения дроби на натуральное число.

Решение. №1 (с. 239)
Математика, 5 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2023, голубого цвета, страница 239, номер 1, Решение
Решение 2. №1 (с. 239)
1.

Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, необходимо числитель этой дроби умножить на данное натуральное число, а знаменатель оставить без изменения.

В виде формулы это правило записывается следующим образом:

$\frac{a}{b} \cdot n = \frac{a \cdot n}{b}$

где $\frac{a}{b}$ — обыкновенная дробь, а $n$ — натуральное число.

Данное правило следует из того, что любое натуральное число $n$ можно представить в виде дроби со знаменателем 1, то есть $n = \frac{n}{1}$. Тогда умножение дроби на натуральное число сводится к умножению двух дробей, при котором перемножаются их числители и знаменатели:

$\frac{a}{b} \cdot n = \frac{a}{b} \cdot \frac{n}{1} = \frac{a \cdot n}{b \cdot 1} = \frac{a \cdot n}{b}$

Пример:

Умножим дробь $\frac{4}{9}$ на число $2$.

$\frac{4}{9} \cdot 2 = \frac{4 \cdot 2}{9} = \frac{8}{9}$

Если в результате умножения получается неправильная дробь (у которой числитель больше знаменателя или равен ему), из нее принято выделять целую часть.

Пример:

$\frac{5}{8} \cdot 5 = \frac{5 \cdot 5}{8} = \frac{25}{8} = 3\frac{1}{8}$

Для умножения смешанного числа на натуральное число, его сначала нужно представить в виде неправильной дроби, а затем применить основное правило.

Пример:

Умножим $2\frac{1}{3}$ на $5$.

1. Переводим смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.

2. Умножаем полученную дробь на натуральное число: $\frac{7}{3} \cdot 5 = \frac{7 \cdot 5}{3} = \frac{35}{3}$.

3. Переводим результат обратно в смешанное число: $\frac{35}{3} = 11\frac{2}{3}$.

Также важно помнить о возможности сокращения дроби. Если натуральный множитель и знаменатель дроби имеют общие делители, то дробь можно сократить до или после умножения.

Пример:

$\frac{5}{12} \cdot 8 = \frac{5 \cdot 8}{12}$. Здесь число 8 (в числителе) и число 12 (в знаменателе) имеют общий делитель 4. Сократим их:

$\frac{5 \cdot 8}{12} = \frac{5 \cdot (2 \cdot 4)}{3 \cdot 4} = \frac{5 \cdot 2}{3} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$.

Ответ: Чтобы умножить дробь на натуральное число, нужно ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.

№2 (с. 239)
Условие. №2 (с. 239)
скриншот условия
Математика, 5 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2023, голубого цвета, страница 239, номер 2, Условие

2. Какая дробь является произведением двух дробей?

Решение. №2 (с. 239)
Математика, 5 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2023, голубого цвета, страница 239, номер 2, Решение
Решение 2. №2 (с. 239)

Произведением двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей этих дробей, а знаменатель — произведению их знаменателей.

Это правило можно выразить следующей формулой. Пусть даны две дроби: $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$. Их произведение вычисляется так:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Рассмотрим на примере умножения дробей $\frac{2}{5}$ и $\frac{3}{4}$:

1. Находим произведение числителей: $2 \cdot 3 = 6$. Это будет числитель результата.

2. Находим произведение знаменателей: $5 \cdot 4 = 20$. Это будет знаменатель результата.

3. Записываем полученную дробь: $\frac{6}{20}$.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 4} = \frac{6}{20}$

При необходимости полученную дробь можно сократить. В нашем примере числитель и знаменатель делятся на 2:

$\frac{6}{20} = \frac{6 \div 2}{20 \div 2} = \frac{3}{10}$

Ответ: Произведением двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей исходных дробей.

№3 (с. 239)
Условие. №3 (с. 239)
скриншот условия
Математика, 5 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2023, голубого цвета, страница 239, номер 3, Условие

Какой дробь является произведением двух дробей.

3. Чему равно произведение дроби и числа 0?

Решение. №3 (с. 239)
Математика, 5 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2023, голубого цвета, страница 239, номер 3, Решение
Решение 2. №3 (с. 239)

Произведение любой дроби на число 0 всегда равно нулю. Это одно из фундаментальных свойств умножения в математике: при умножении любого числа (включая дроби) на ноль, результат всегда будет ноль.

Давайте докажем это формально. Возьмем любую дробь, которую можно представить в виде $ \frac{a}{b} $, где $ a $ — это числитель, а $ b $ — знаменатель (причем $ b \neq 0 $).

Теперь умножим эту дробь на 0. Число 0 можно представить в виде дроби, например, $ \frac{0}{1} $.

Выполним умножение по правилу умножения дробей (числитель умножается на числитель, а знаменатель — на знаменатель):

$ \frac{a}{b} \times 0 = \frac{a}{b} \times \frac{0}{1} = \frac{a \times 0}{b \times 1} $

Поскольку произведение любого числа на 0 равно 0, числитель новой дроби будет равен $ a \times 0 = 0 $. Знаменатель будет равен $ b \times 1 = b $.

В результате мы получаем дробь:

$ \frac{0}{b} $

Любая дробь, у которой числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, равна нулю.

Следовательно, произведение дроби и числа 0 равно 0.

Ответ: 0.

№4 (с. 239)
Условие. №4 (с. 239)
скриншот условия
Математика, 5 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2023, голубого цвета, страница 239, номер 4, Условие

4. Какие свойства умножения выполняются при умножении дробей?

Решение. №4 (с. 239)
Математика, 5 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2023, голубого цвета, страница 239, номер 4, Решение
Решение 2. №4 (с. 239)

При умножении дробей выполняются те же свойства, что и для умножения натуральных чисел. Основными из них являются переместительное, сочетательное и распределительное свойства.

Переместительное свойство умножения

Это свойство гласит, что от перестановки множителей-дробей произведение не меняется. Это позволяет менять дроби местами при умножении для удобства вычислений.

В буквенном виде это выглядит так: $ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{c}{d} \cdot \frac{a}{b} $.

Например: $ \frac{2}{7} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 5} = \frac{6}{35} $. Если поменять множители местами: $ \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{7} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 7} = \frac{6}{35} $. Результат остался прежним.

Сочетательное свойство умножения

Это свойство позволяет группировать множители в любом порядке. Чтобы произведение двух дробей умножить на третью, можно первую дробь умножить на произведение второй и третьей.

В буквенном виде: $ (\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}) \cdot \frac{p}{q} = \frac{a}{b} \cdot (\frac{c}{d} \cdot \frac{p}{q}) $.

Например: $ (\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}) \cdot \frac{2}{5} = \frac{3}{12} \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10} $. Если сгруппировать иначе: $ \frac{1}{3} \cdot (\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{20} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10} $. Результат совпадает.

Распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания

Чтобы умножить дробь на сумму или разность двух других дробей, можно умножить эту дробь на каждую из них по отдельности и полученные произведения сложить или вычесть.

В буквенном виде для сложения: $ \frac{a}{b} \cdot (\frac{c}{d} + \frac{p}{q}) = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} + \frac{a}{b} \cdot \frac{p}{q} $.

Например: $ \frac{2}{5} \cdot (\frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = \frac{2}{5} \cdot (\frac{2}{4} + \frac{1}{4}) = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} $. Если применить свойство: $ \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{10} + \frac{2}{20} = \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10} $. Результаты равны.

Также для умножения дробей справедливы свойства, связанные с умножением на единицу и ноль.

Умножение на единицу

При умножении любой дроби на единицу (которую можно представить как $ \frac{1}{1} $ или любую другую дробь, где числитель равен знаменателю) получается та же самая дробь.

$ \frac{a}{b} \cdot 1 = \frac{a}{b} $.

Например: $ \frac{9}{13} \cdot 1 = \frac{9}{13} $.

Умножение на ноль

При умножении любой дроби на ноль в результате всегда получается ноль.

$ \frac{a}{b} \cdot 0 = 0 $.

Например: $ \frac{5}{8} \cdot 0 = 0 $.

Ответ: При умножении дробей выполняются переместительное, сочетательное и распределительное свойства умножения, а также свойства умножения на единицу и на ноль.

№1 (с. 239)
Условие. №1 (с. 239)
скриншот условия
Математика, 5 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2023, голубого цвета, страница 239, номер 1, Условие

1. Найдите значение выражения:

1) $ \frac{5 \cdot 2}{15}; $

2) $ \frac{6 \cdot 7}{7 \cdot 8}; $

3) $ \frac{4 \cdot 9}{27 \cdot 2}; $

4) $ \frac{10 \cdot 18}{36 \cdot 25}. $

Решение. №1 (с. 239)
Математика, 5 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2023, голубого цвета, страница 239, номер 1, Решение
Решение 2. №1 (с. 239)

1) Для того чтобы найти значение выражения $\frac{5 \cdot 2}{15}$, сначала вычислим произведение в числителе: $5 \cdot 2 = 10$. В результате получим дробь $\frac{10}{15}$. Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 5. Выполним деление: $10 \div 5 = 2$ и $15 \div 5 = 3$.
Таким образом, $\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$.
Также можно было разложить знаменатель на множители $15 = 3 \cdot 5$ и сократить общий множитель 5:
$\frac{5 \cdot 2}{15} = \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{\sout{5} \cdot 2}{3 \cdot \sout{5}} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

2) В выражении $\frac{6 \cdot 7}{7 \cdot 8}$ число 7 является общим множителем в числителе и знаменателе. Сократим дробь на 7:
$\frac{6 \cdot \sout{7}}{\sout{7} \cdot 8} = \frac{6}{8}$.
Полученную дробь $\frac{6}{8}$ можно также сократить, так как числитель и знаменатель делятся на 2: $6 \div 2 = 3$ и $8 \div 2 = 4$.
В результате получаем $\frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

3) Рассмотрим выражение $\frac{4 \cdot 9}{27 \cdot 2}$. Для его упрощения можно сокращать множители в числителе и знаменателе.
Сократим 9 в числителе и 27 в знаменателе на 9 (так как $27 = 3 \cdot 9$):
$\frac{4 \cdot 9}{27 \cdot 2} = \frac{4 \cdot \sout{9}}{3 \cdot \sout{9} \cdot 2} = \frac{4}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}$.
Теперь сократим 4 в числителе и 2 в знаменателе на 2:
$\frac{4}{3 \cdot 2} = \frac{2 \cdot \sout{2}}{3 \cdot \sout{2}} = \frac{2}{3}$.
Можно было сначала сократить 4 и 2, а потом 9 и 27:
$\frac{4 \cdot 9}{27 \cdot 2} = \frac{\sout{4}^2 \cdot \sout{9}^1}{\sout{27}^3 \cdot \sout{2}^1} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

4) Чтобы найти значение выражения $\frac{10 \cdot 18}{36 \cdot 25}$, будем последовательно сокращать множители.
Сократим 18 и 36 на 18 (так как $36 = 2 \cdot 18$):
$\frac{10 \cdot 18}{36 \cdot 25} = \frac{10 \cdot \sout{18}}{2 \cdot \sout{18} \cdot 25} = \frac{10}{2 \cdot 25}$.
Теперь сократим 10 и 25 на 5 (так как $10 = 2 \cdot 5$ и $25 = 5 \cdot 5$):
$\frac{10}{2 \cdot 25} = \frac{2 \cdot \sout{5}}{2 \cdot 5 \cdot \sout{5}} = \frac{2}{2 \cdot 5}$.
Наконец, сократим на 2:
$\frac{\sout{2}}{\sout{2} \cdot 5} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться