Номер 4, страница 239 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 39. Умножение обыкновенных дробей. Глава 4. Обыкновенные дроби. Раздел II. Дробные числа и действия над ними - номер 4, страница 239.

4. Какие свойства умножения выполняются при умножении дробей?

При умножении дробей выполняются те же свойства, что и для умножения натуральных чисел. Основными из них являются переместительное, сочетательное и распределительное свойства.

Переместительное свойство умножения

Это свойство гласит, что от перестановки множителей-дробей произведение не меняется. Это позволяет менять дроби местами при умножении для удобства вычислений.

В буквенном виде это выглядит так: $ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{c}{d} \cdot \frac{a}{b} $.

Например: $ \frac{2}{7} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 5} = \frac{6}{35} $. Если поменять множители местами: $ \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{7} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 7} = \frac{6}{35} $. Результат остался прежним.

Сочетательное свойство умножения

Это свойство позволяет группировать множители в любом порядке. Чтобы произведение двух дробей умножить на третью, можно первую дробь умножить на произведение второй и третьей.

В буквенном виде: $ (\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}) \cdot \frac{p}{q} = \frac{a}{b} \cdot (\frac{c}{d} \cdot \frac{p}{q}) $.

Например: $ (\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}) \cdot \frac{2}{5} = \frac{3}{12} \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10} $. Если сгруппировать иначе: $ \frac{1}{3} \cdot (\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{20} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10} $. Результат совпадает.

Распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания

Чтобы умножить дробь на сумму или разность двух других дробей, можно умножить эту дробь на каждую из них по отдельности и полученные произведения сложить или вычесть.

В буквенном виде для сложения: $ \frac{a}{b} \cdot (\frac{c}{d} + \frac{p}{q}) = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} + \frac{a}{b} \cdot \frac{p}{q} $.

Например: $ \frac{2}{5} \cdot (\frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = \frac{2}{5} \cdot (\frac{2}{4} + \frac{1}{4}) = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} $. Если применить свойство: $ \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{10} + \frac{2}{20} = \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10} $. Результаты равны.

Также для умножения дробей справедливы свойства, связанные с умножением на единицу и ноль.

Умножение на единицу

При умножении любой дроби на единицу (которую можно представить как $ \frac{1}{1} $ или любую другую дробь, где числитель равен знаменателю) получается та же самая дробь.

$ \frac{a}{b} \cdot 1 = \frac{a}{b} $.

Например: $ \frac{9}{13} \cdot 1 = \frac{9}{13} $.

Умножение на ноль

При умножении любой дроби на ноль в результате всегда получается ноль.

$ \frac{a}{b} \cdot 0 = 0 $.

Например: $ \frac{5}{8} \cdot 0 = 0 $.

Ответ: При умножении дробей выполняются переместительное, сочетательное и распределительное свойства умножения, а также свойства умножения на единицу и на ноль.