Номер 12, страница 236 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание №5 «Проверьте себя» в тестовой форме. § 38. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Глава 4. Обыкновенные дроби. Раздел II. Дробные числа и действия над ними - номер 12, страница 236.

12. В корзинке лежали яблоки и груши. Съели половину всех яблок и треть всех груш. Какое из следующих утверждений верно?

А) осталась половина фруктов

Б) осталась треть фруктов

В) осталось больше половины фруктов

Г) осталось меньше половины фруктов

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $Я$ — это начальное количество яблок, а $Г$ — начальное количество груш. По условию, в корзинке были и яблоки, и груши, поэтому $Я > 0$ и $Г > 0$.

Общее начальное количество фруктов в корзинке было равно $Я + Г$.

По условию, съели половину всех яблок. Следовательно, в корзинке осталась вторая половина яблок, то есть $\frac{1}{2}Я$.

Также съели треть всех груш. Следовательно, в корзинке осталось две трети груш: $Г - \frac{1}{3}Г = \frac{2}{3}Г$.

Общее количество оставшихся фруктов равно сумме оставшихся яблок и груш: $\frac{1}{2}Я + \frac{2}{3}Г$.

Чтобы определить, какое из предложенных утверждений верно, нам нужно сравнить количество оставшихся фруктов с половиной от их первоначального количества. Половина от первоначального количества фруктов составляет $\frac{1}{2}(Я + Г) = \frac{1}{2}Я + \frac{1}{2}Г$.

Теперь сравним два выражения:

• Количество оставшихся фруктов: $\frac{1}{2}Я + \frac{2}{3}Г$
• Половина от начального количества фруктов: $\frac{1}{2}Я + \frac{1}{2}Г$

В обоих выражениях есть одинаковое слагаемое $\frac{1}{2}Я$. Поэтому для сравнения достаточно рассмотреть только вторые слагаемые: $\frac{2}{3}Г$ и $\frac{1}{2}Г$.

Сравним дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{2}$. Приведем их к общему знаменателю 6:

$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$

$\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$

Поскольку $\frac{4}{6} > \frac{3}{6}$, то $\frac{2}{3} > \frac{1}{2}$.

Так как количество груш $Г$ является положительным числом, то и неравенство $\frac{2}{3}Г > \frac{1}{2}Г$ также будет верным.

Из этого следует, что и вся сумма будет больше: $\frac{1}{2}Я + \frac{2}{3}Г > \frac{1}{2}Я + \frac{1}{2}Г$.

Таким образом, мы доказали, что количество оставшихся фруктов строго больше, чем половина от их первоначального количества. Это соответствует утверждению В).

Ответ: В) осталось больше половины фруктов