Номер 1008, страница 228 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел II. Дробные числа и действия над ними. Глава 4. Обыкновенные дроби. Параграф 37. Приведение дробей к общему знаменателю.Сравнение дробей с разными знаменателями. Упражнения - номер 1008, страница 228.

Условие.

1008. Из чашки с молоком одну ложку молока переливают в чашку с кофе и тщательно размешивают. После этого одну ложку смеси переливают в чашку с молоком. Чего теперь больше: кофе в чашке с молоком или молока в чашке с кофе?

Решение.

Решение 2.

Эту задачу можно решить двумя способами: с помощью логических рассуждений и с помощью математических выкладок. Оба способа приводят к одному и тому же выводу.

1. Логическое решение

Давайте проследим за состоянием жидкости в обеих чашках. Изначально в одной чашке только молоко, в другой — только кофе. Объемы жидкостей в чашках в начале и в конце одинаковы, так как мы сначала взяли одну ложку из первой чашки, а затем вернули одну ложку смеси во вторую.

Рассмотрим чашку, в которой изначально было молоко. После всех переливаний в ней оказалось некоторое количество кофе. Это количество кофе заняло место, которое раньше занимало молоко. Так как общий объем жидкости в чашке не изменился, то объем кофе в этой чашке в точности равен объему молока, которое из нее "убыло".

Куда могло деться это "убывшее" молоко? Единственное место, куда оно могло попасть — это в чашку с кофе.

Следовательно, количество кофе, которое оказалось в чашке с молоком, равно количеству молока, которое оказалось в чашке с кофе.

Ответ: Количество кофе в чашке с молоком равно количеству молока в чашке с кофе.

2. Математическое решение

Пусть объем чашки с молоком равен $V_м$, а объем чашки с кофе — $V_к$. Объем ложки равен $v$.

Шаг 1: Переливаем ложку молока в кофе.

• В чашке с молоком остается: $V_м - v$ молока.
• В чашке с кофе становится: $V_к$ кофе и $v$ молока. Общий объем смеси в этой чашке теперь $V_к + v$.

Шаг 2: Переливаем ложку смеси из чашки с кофе в чашку с молоком.

Сначала определим состав смеси в чашке с кофе. Концентрация кофе в смеси составляет $C_к = \frac{V_к}{V_к + v}$. Концентрация молока в смеси составляет $C_м = \frac{v}{V_к + v}$.

Когда мы зачерпываем ложку ($v$) этой смеси, в ней будет:

• Кофе: $v \cdot C_к = v \cdot \frac{V_к}{V_к + v}$
• Молока: $v \cdot C_м = v \cdot \frac{v}{V_к + v}$

Эту ложку смеси мы переливаем в чашку с молоком. Таким образом, количество кофе, попавшее в чашку с молоком, равно:

$K_{в\_молоке} = \frac{v \cdot V_к}{V_к + v}$

Теперь посчитаем, сколько молока осталось в чашке с кофе. Изначально мы добавили туда $v$ молока, а затем с ложкой смеси забрали $v \cdot \frac{v}{V_к + v}$ молока. Значит, в чашке с кофе осталось:

$M_{в\_кофе} = v - v \cdot \frac{v}{V_к + v} = v \left(1 - \frac{v}{V_к + v}\right) = v \left(\frac{V_к + v - v}{V_к + v}\right) = \frac{v \cdot V_к}{V_к + v}$

Сравнение результатов:

Количество кофе в чашке с молоком: $K_{в\_молоке} = \frac{v \cdot V_к}{V_к + v}$

Количество молока в чашке с кофе: $M_{в\_кофе} = \frac{v \cdot V_к}{V_к + v}$

Как мы видим, эти величины равны.

Ответ: Количество кофе в чашке с молоком равно количеству молока в чашке с кофе.