Номер 1121, страница 249 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел II. Дробные числа и действия над ними. Глава 4. Обыкновенные дроби. Параграф 40. Нахождение дроби от числа. Упражнения - номер 1121, страница 249.

Условие.

1121.Контрольную работу по математике писали менее 50 пятиклассников. Оценку «5» получили $\frac{1}{7}$ учащихся, писавших работу, оценку «4» — $\frac{1}{3}$ учащихся, оценку «3» — $\frac{1}{2}$ учащихся. Остальные, к сожалению, получили оценку «2». Сколько учащихся получило оценку «2»?

Решение.

Решение 2.

Пусть $N$ — общее количество пятиклассников, писавших контрольную работу. По условию задачи, $N < 50$.

Известно, что:

• $\frac{1}{7}$ всех учащихся получили оценку «5»;
• $\frac{1}{3}$ всех учащихся получили оценку «4»;
• $\frac{1}{2}$ всех учащихся получили оценку «3».

Поскольку количество учеников для каждой оценки должно быть целым числом, общее количество учащихся $N$ должно делиться нацело на знаменатели дробей, то есть на $7$, $3$ и $2$.

1. Нахождение общего количества учащихся

Чтобы найти такое число $N$, нужно найти общее кратное для чисел $7$, $3$ и $2$. Найдем их наименьшее общее кратное (НОК). Так как эти числа являются взаимно простыми, их НОК равно их произведению:

$НОК(7, 3, 2) = 7 \cdot 3 \cdot 2 = 42$.

Это означает, что общее число учащихся $N$ должно быть кратно $42$. По условию, учащихся было менее $50$. Единственное число, которое удовлетворяет обоим условиям (кратно $42$ и меньше $50$), — это само число $42$.

Таким образом, контрольную работу писали $42$ учащихся.

2. Расчет количества учащихся, получивших оценку «2»

Существует два способа найти ответ.

Способ 1: через вычисление количества учеников для каждой оценки.

Найдем, сколько учащихся получили оценки «5», «4» и «3»:

• Количество получивших «5»: $42 \cdot \frac{1}{7} = 6$ учащихся.
• Количество получивших «4»: $42 \cdot \frac{1}{3} = 14$ учащихся.
• Количество получивших «3»: $42 \cdot \frac{1}{2} = 21$ учащийся.

Сложим количество этих учащихся: $6 + 14 + 21 = 41$ учащийся.

Остальные, по условию, получили «2». Найдем их количество, вычтя из общего числа учащихся сумму тех, кто получил другие оценки:

$42 - 41 = 1$ учащийся.

Способ 2: через вычисление доли учеников.

Найдем, какую часть от общего числа составляют ученики, получившие оценки «5», «4» и «3»:

$\frac{1}{7} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $42$:

$\frac{6}{42} + \frac{14}{42} + \frac{21}{42} = \frac{6 + 14 + 21}{42} = \frac{41}{42}$

Остальные учащиеся получили оценку «2». Их доля составляет:

$1 - \frac{41}{42} = \frac{42}{42} - \frac{41}{42} = \frac{1}{42}$

Теперь найдем количество учащихся, составляющих $\frac{1}{42}$ от общего числа $42$:

$42 \cdot \frac{1}{42} = 1$ учащийся.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 1.