Номер 1160, страница 256 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 41. Взаимно обратные числа. Деление обыкновенных дробей. Глава 4. Обыкновенные дроби. Раздел II. Дробные числа и действия над ними - номер 1160, страница 256.

1160. Первый тракторист может вспахать поле за 12 дней, второму на это требуется в $1 \frac{1}{5}$ раза меньше времени, чем первому, а третьему — в $1 \frac{1}{2}$ раза больше, чем второму. За сколько дней они вместе могут вспахать поле? Какую часть поля при этом вспашет каждый из них?

Для решения задачи сначала определим время, которое требуется каждому трактористу для вспашки всего поля в одиночку. Всю работу (вспашку поля) примем за 1.

1. Время работы второго тракториста.
Первый тракторист вспахивает поле за 12 дней. Второму требуется в $1 \frac{1}{5}$ раза меньше времени. Чтобы найти это время, разделим время первого на $1 \frac{1}{5}$.
$1 \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$
$12 \div \frac{6}{5} = 12 \cdot \frac{5}{6} = \frac{12 \cdot 5}{6} = 2 \cdot 5 = 10$ (дней) – требуется второму трактористу.

2. Время работы третьего тракториста.
Третьему требуется в $1 \frac{1}{2}$ раза больше времени, чем второму. Чтобы найти это время, умножим время второго на $1 \frac{1}{2}$.
$1 \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$
$10 \cdot \frac{3}{2} = \frac{10 \cdot 3}{2} = 5 \cdot 3 = 15$ (дней) – требуется третьему трактористу.

3. Производительность каждого тракториста.
Производительность – это часть работы, выполняемая за единицу времени (в данном случае, за 1 день).

• Производительность первого: $P_1 = \frac{1}{12}$ поля в день.
• Производительность второго: $P_2 = \frac{1}{10}$ поля в день.
• Производительность третьего: $P_3 = \frac{1}{15}$ поля в день.

За сколько дней они вместе могут вспахать поле?

Чтобы найти, за сколько дней они вспашут поле вместе, нужно сложить их производительности.
$P_{общая} = P_1 + P_2 + P_3 = \frac{1}{12} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15}$
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 12, 10 и 15 – это 60.
$\frac{1}{12} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{1 \cdot 5}{60} + \frac{1 \cdot 6}{60} + \frac{1 \cdot 4}{60} = \frac{5+6+4}{60} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4}$
Их общая производительность – $\frac{1}{4}$ поля в день. Это означает, что вместе они вспашут все поле (1) за:
$T_{общ} = \frac{1}{P_{общая}} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$ дня.

Ответ: 4 дня.

Какую часть поля при этом вспашет каждый из них?

Чтобы найти, какую часть поля вспашет каждый, нужно его индивидуальную производительность умножить на общее время работы (4 дня).

• Часть первого: $P_1 \cdot T_{общ} = \frac{1}{12} \cdot 4 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ поля.
• Часть второго: $P_2 \cdot T_{общ} = \frac{1}{10} \cdot 4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ поля.
• Часть третьего: $P_3 \cdot T_{общ} = \frac{1}{15} \cdot 4 = \frac{4}{15}$ поля.

Проверим: $\frac{1}{3} + \frac{2}{5} + \frac{4}{15} = \frac{5}{15} + \frac{6}{15} + \frac{4}{15} = \frac{5+6+4}{15} = \frac{15}{15} = 1$. Сумма частей равна всему полю, значит, расчеты верны.

Ответ: первый тракторист вспашет $\frac{1}{3}$ поля, второй — $\frac{2}{5}$ поля, а третий — $\frac{4}{15}$ поля.