Номер 1157, страница 256 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 41. Взаимно обратные числа. Деление обыкновенных дробей. Глава 4. Обыкновенные дроби. Раздел II. Дробные числа и действия над ними - номер 1157, страница 256.

1157. Мастер Иван Иванович может отремонтировать кабинет математики за 24 ч, а мастер Пётр Петрович – за 48 ч. За сколько часов, работая вместе, они отремонтируют этот кабинет?

Для решения этой задачи о совместной работе, мы сначала определим производительность (скорость работы) каждого мастера, а затем их общую производительность.

1. Производительность мастера Ивана Ивановича.
Примем весь объем работы по ремонту кабинета за 1 (одну целую).
Мастер Иван Иванович выполняет всю работу за 24 часа. Следовательно, его производительность составляет $P_1 = \frac{1}{24}$ часть работы в час.

2. Производительность мастера Петра Петровича.
Мастер Пётр Петрович выполняет всю работу за 48 часов. Его производительность составляет $P_2 = \frac{1}{48}$ часть работы в час.

3. Совместная производительность.
Когда мастера работают вместе, их производительности складываются. Найдем их общую производительность $P_{общ}$: $P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{24} + \frac{1}{48}$
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен 48: $\frac{1}{24} = \frac{1 \cdot 2}{24 \cdot 2} = \frac{2}{48}$
Теперь выполним сложение: $P_{общ} = \frac{2}{48} + \frac{1}{48} = \frac{2+1}{48} = \frac{3}{48}$
Сократим полученную дробь: $P_{общ} = \frac{3}{48} = \frac{1}{16}$
Это означает, что, работая вместе, за один час они выполняют $\frac{1}{16}$ часть всей работы.

4. Время выполнения работы при совместной работе.
Чтобы найти общее время ($T$), необходимое для выполнения всей работы (1), нужно разделить работу на общую производительность: $T = \frac{1}{P_{общ}} = 1 \div \frac{1}{16} = 1 \cdot \frac{16}{1} = 16$ часов.

Ответ: 16 часов.