Номер 1159, страница 256 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 41. Взаимно обратные числа. Деление обыкновенных дробей. Глава 4. Обыкновенные дроби. Раздел II. Дробные числа и действия над ними - номер 1159, страница 256.

1159.Первый рабочий может выполнить задание за 30 ч, а второму для этого необходимо в $1\frac{1}{2}$ раза больше времени, чем первому. За сколько часов они выполнят это задание, работая вместе? Какую часть задания при этом выполнит каждый из них?

За сколько часов они выполнят это задание, работая вместе?
1. Сначала найдем, сколько времени требуется второму рабочему для выполнения всего задания. Ему необходимо в $1\frac{1}{2}$ раза больше времени, чем первому:
$30 \cdot 1\frac{1}{2} = 30 \cdot \frac{3}{2} = 45$ часов.
2. Теперь определим производительность каждого рабочего, то есть какую часть задания они выполняют за 1 час. Примем все задание за 1.
Производительность первого рабочего: $P_1 = \frac{1}{30}$ задания в час.
Производительность второго рабочего: $P_2 = \frac{1}{45}$ задания в час.
3. Найдем их общую производительность при совместной работе, сложив их индивидуальные производительности:
$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{30} + \frac{1}{45}$
Приведем дроби к общему знаменателю 90:
$P_{общ} = \frac{3}{90} + \frac{2}{90} = \frac{5}{90} = \frac{1}{18}$ задания в час.
4. Чтобы найти общее время выполнения задания, нужно всю работу (1) разделить на общую производительность:
$t_{общ} = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{1}{18}} = 18$ часов.
Ответ: работая вместе, они выполнят задание за 18 часов.

Какую часть задания при этом выполнит каждый из них?
Чтобы найти, какую часть задания выполнил каждый рабочий, нужно его индивидуальную производительность умножить на общее время работы (18 часов).
1. Часть задания, выполненная первым рабочим:
$A_1 = P_1 \cdot t_{общ} = \frac{1}{30} \cdot 18 = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$
2. Часть задания, выполненная вторым рабочим:
$A_2 = P_2 \cdot t_{общ} = \frac{1}{45} \cdot 18 = \frac{18}{45} = \frac{2}{5}$
Проверка: $A_1 + A_2 = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} = \frac{5}{5} = 1$ (все задание).
Ответ: первый рабочий выполнит $\frac{3}{5}$ задания, а второй — $\frac{2}{5}$ задания.