Номер 4, страница 253 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 41. Взаимно обратные числа. Деление обыкновенных дробей. Глава 4. Обыкновенные дроби. Раздел II. Дробные числа и действия над ними - номер 4, страница 253.

4. Какое число является обратным числу $\frac{a}{b}$?

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно единице.

Пусть дано число $\frac{a}{b}$. Обозначим обратное ему число как $x$. Согласно определению, должно выполняться следующее равенство:

$\frac{a}{b} \cdot x = 1$

Чтобы найти $x$, нужно разделить 1 на дробь $\frac{a}{b}$. Деление на дробь равносильно умножению на перевёрнутую (обратную) дробь:

$x = 1 \div \frac{a}{b} = 1 \cdot \frac{b}{a} = \frac{b}{a}$

Таким образом, числом, обратным числу $\frac{a}{b}$, является число $\frac{b}{a}$. Это справедливо при условии, что $a \neq 0$ и $b \neq 0$.

Проверим, равно ли их произведение единице:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{a \cdot b}{b \cdot a} = 1$

Равенство выполняется, значит, числа являются взаимно обратными.

Ответ: $\frac{b}{a}$