Номер 986, страница 226 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 37. Приведение дробей к общему знаменателю.Сравнение дробей с разными знаменателями. Глава 4. Обыкновенные дроби. Раздел II. Дробные числа и действия над ними - номер 986, страница 226.

986. Сравните дроби:

1) $ \frac{5}{7} $ и $ \frac{7}{9} $;

2) $ \frac{11}{20} $ и $ \frac{17}{30} $;

3) $ \frac{2}{9} $ и $ \frac{1}{6} $;

4) $ \frac{5}{6} $ и $ \frac{3}{4} $;

5) $ \frac{8}{38} $ и $ \frac{4}{19} $;

6) $ \frac{7}{9} $ и $ \frac{8}{11} $;

7) $ \frac{8}{25} $ и $ \frac{7}{20} $;

8) $ \frac{5}{12} $ и $ \frac{4}{9} $.

1) Чтобы сравнить дроби $\frac{5}{7}$ и $\frac{7}{9}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 7 и 9 является их наименьшее общее кратное (НОК). Так как 7 и 9 взаимно простые числа, их НОК равно их произведению: $7 \times 9 = 63$.

Приведем каждую дробь к знаменателю 63:

$\frac{5}{7} = \frac{5 \times 9}{7 \times 9} = \frac{45}{63}$

$\frac{7}{9} = \frac{7 \times 7}{9 \times 7} = \frac{49}{63}$

Теперь сравним полученные дроби. Так как у них одинаковые знаменатели, большей будет та дробь, у которой больше числитель. Сравниваем числители: $45 < 49$.

Следовательно, $\frac{45}{63} < \frac{49}{63}$, а значит $\frac{5}{7} < \frac{7}{9}$.

Ответ: $\frac{5}{7} < \frac{7}{9}$.

2) Сравним дроби $\frac{11}{20}$ и $\frac{17}{30}$. Найдем наименьший общий знаменатель, который равен НОК(20, 30). Разложим числа на простые множители: $20 = 2^2 \times 5$, $30 = 2 \times 3 \times 5$. НОК(20, 30) = $2^2 \times 3 \times 5 = 60$.

Приведем дроби к знаменателю 60:

$\frac{11}{20} = \frac{11 \times 3}{20 \times 3} = \frac{33}{60}$

$\frac{17}{30} = \frac{17 \times 2}{30 \times 2} = \frac{34}{60}$

Сравниваем числители: $33 < 34$. Значит, $\frac{33}{60} < \frac{34}{60}$.

Ответ: $\frac{11}{20} < \frac{17}{30}$.

3) Сравним дроби $\frac{2}{9}$ и $\frac{1}{6}$. Найдем НОК(9, 6). $9 = 3^2$, $6 = 2 \times 3$. НОК(9, 6) = $2 \times 3^2 = 18$.

Приведем дроби к знаменателю 18:

$\frac{2}{9} = \frac{2 \times 2}{9 \times 2} = \frac{4}{18}$

$\frac{1}{6} = \frac{1 \times 3}{6 \times 3} = \frac{3}{18}$

Сравниваем числители: $4 > 3$. Значит, $\frac{4}{18} > \frac{3}{18}$.

Ответ: $\frac{2}{9} > \frac{1}{6}$.

4) Сравним дроби $\frac{5}{6}$ и $\frac{3}{4}$. Найдем НОК(6, 4). $6 = 2 \times 3$, $4 = 2^2$. НОК(6, 4) = $2^2 \times 3 = 12$.

Приведем дроби к знаменателю 12:

$\frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12}$

$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$

Сравниваем числители: $10 > 9$. Значит, $\frac{10}{12} > \frac{9}{12}$.

Ответ: $\frac{5}{6} > \frac{3}{4}$.

5) Сравним дроби $\frac{8}{38}$ и $\frac{4}{19}$. Общий знаменатель - 38, так как 38 делится на 19 ($38 = 19 \times 2$).

Первая дробь уже имеет нужный знаменатель. Приведем вторую дробь к знаменателю 38:

$\frac{4}{19} = \frac{4 \times 2}{19 \times 2} = \frac{8}{38}$

Теперь сравним дроби $\frac{8}{38}$ и $\frac{8}{38}$. Так как их числители и знаменатели равны, то и сами дроби равны.

Ответ: $\frac{8}{38} = \frac{4}{19}$.

6) Сравним дроби $\frac{7}{9}$ и $\frac{8}{11}$. Так как 9 и 11 взаимно простые, их НОК равно их произведению: $9 \times 11 = 99$.

Приведем дроби к знаменателю 99:

$\frac{7}{9} = \frac{7 \times 11}{9 \times 11} = \frac{77}{99}$

$\frac{8}{11} = \frac{8 \times 9}{11 \times 9} = \frac{72}{99}$

Сравниваем числители: $77 > 72$. Значит, $\frac{77}{99} > \frac{72}{99}$.

Ответ: $\frac{7}{9} > \frac{8}{11}$.

7) Сравним дроби $\frac{8}{25}$ и $\frac{7}{20}$. Найдем НОК(25, 20). $25 = 5^2$, $20 = 2^2 \times 5$. НОК(25, 20) = $2^2 \times 5^2 = 100$.

Приведем дроби к знаменателю 100:

$\frac{8}{25} = \frac{8 \times 4}{25 \times 4} = \frac{32}{100}$

$\frac{7}{20} = \frac{7 \times 5}{20 \times 5} = \frac{35}{100}$

Сравниваем числители: $32 < 35$. Значит, $\frac{32}{100} < \frac{35}{100}$.

Ответ: $\frac{8}{25} < \frac{7}{20}$.

8) Сравним дроби $\frac{5}{12}$ и $\frac{4}{9}$. Найдем НОК(12, 9). $12 = 2^2 \times 3$, $9 = 3^2$. НОК(12, 9) = $2^2 \times 3^2 = 36$.

Приведем дроби к знаменателю 36:

$\frac{5}{12} = \frac{5 \times 3}{12 \times 3} = \frac{15}{36}$

$\frac{4}{9} = \frac{4 \times 4}{9 \times 4} = \frac{16}{36}$

Сравниваем числители: $15 < 16$. Значит, $\frac{15}{36} < \frac{16}{36}$.

Ответ: $\frac{5}{12} < \frac{4}{9}$.