Номер 985, страница 226 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел II. Дробные числа и действия над ними. Глава 4. Обыкновенные дроби. Параграф 37. Приведение дробей к общему знаменателю.Сравнение дробей с разными знаменателями. Упражнения - номер 985, страница 226.

Условие.

985. Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби:

1) $ \frac{3}{8} $ и $ \frac{5}{12} $;

2) $ \frac{2}{15} $ и $ \frac{3}{10} $;

3) $ \frac{4}{13} $ и $ \frac{3}{4} $;

4) $ \frac{1}{9} $, $ \frac{1}{4} $ и $ \frac{1}{6} $.

Решение.

Решение 2.

1) Чтобы привести дроби $ \frac{3}{8} $ и $ \frac{5}{12} $ к наименьшему общему знаменателю, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей, то есть чисел 8 и 12.

Разложим знаменатели на простые множители:
$ 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 $
$ 12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3 $
Для нахождения НОК возьмем каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях: $ НОК(8, 12) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24 $.

Наименьший общий знаменатель равен 24. Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби, разделив новый знаменатель на старый:
Для дроби $ \frac{3}{8} $ дополнительный множитель: $ 24 \div 8 = 3 $.
Для дроби $ \frac{5}{12} $ дополнительный множитель: $ 24 \div 12 = 2 $.

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель:
$ \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24} $
$ \frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{10}{24} $

Ответ: $ \frac{9}{24} $ и $ \frac{10}{24} $.

2) Приведем дроби $ \frac{2}{15} $ и $ \frac{3}{10} $ к наименьшему общему знаменателю. Найдем НОК знаменателей 15 и 10.

Разложим на простые множители:
$ 15 = 3 \cdot 5 $
$ 10 = 2 \cdot 5 $
$ НОК(15, 10) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 $.

Дополнительные множители:
Для $ \frac{2}{15} $: $ 30 \div 15 = 2 $.
Для $ \frac{3}{10} $: $ 30 \div 10 = 3 $.

Приведем дроби к общему знаменателю 30:
$ \frac{2}{15} = \frac{2 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{4}{30} $
$ \frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{9}{30} $

Ответ: $ \frac{4}{30} $ и $ \frac{9}{30} $.

3) Приведем дроби $ \frac{4}{13} $ и $ \frac{3}{4} $ к наименьшему общему знаменателю. Найдем НОК знаменателей 13 и 4.

Числа 13 и 4 являются взаимно простыми (у них нет общих делителей, кроме 1), так как 13 — простое число, а 4 на 13 не делится. НОК взаимно простых чисел равно их произведению.
$ НОК(13, 4) = 13 \cdot 4 = 52 $.

Дополнительные множители:
Для $ \frac{4}{13} $: $ 52 \div 13 = 4 $.
Для $ \frac{3}{4} $: $ 52 \div 4 = 13 $.

Приведем дроби к общему знаменателю 52:
$ \frac{4}{13} = \frac{4 \cdot 4}{13 \cdot 4} = \frac{16}{52} $
$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 13}{4 \cdot 13} = \frac{39}{52} $

Ответ: $ \frac{16}{52} $ и $ \frac{39}{52} $.

4) Приведем дроби $ \frac{1}{9} $, $ \frac{1}{4} $ и $ \frac{1}{6} $ к наименьшему общему знаменателю. Найдем НОК знаменателей 9, 4 и 6.

Разложим на простые множители:
$ 9 = 3^2 $
$ 4 = 2^2 $
$ 6 = 2 \cdot 3 $
$ НОК(9, 4, 6) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36 $.

Дополнительные множители:
Для $ \frac{1}{9} $: $ 36 \div 9 = 4 $.
Для $ \frac{1}{4} $: $ 36 \div 4 = 9 $.
Для $ \frac{1}{6} $: $ 36 \div 6 = 6 $.

Приведем дроби к общему знаменателю 36:
$ \frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{4}{36} $
$ \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{9}{36} $
$ \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6}{6 \cdot 6} = \frac{6}{36} $

Ответ: $ \frac{4}{36} $, $ \frac{9}{36} $ и $ \frac{6}{36} $.