Номер 984, страница 226 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 37. Приведение дробей к общему знаменателю.Сравнение дробей с разными знаменателями. Глава 4. Обыкновенные дроби. Раздел II. Дробные числа и действия над ними - номер 984, страница 226.

984. Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби:

1) $ \frac{4}{9} $ и $ \frac{7}{12} $;

2) $ \frac{3}{8} $ и $ \frac{4}{15} $;

3) $ \frac{2}{15} $ и $ \frac{11}{12} $;

4) $ \frac{3}{10} $, $ \frac{3}{8} $ и $ \frac{3}{4} $.

1) Даны дроби $\frac{4}{9}$ и $\frac{7}{12}$.

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей: 9 и 12.

Разложим знаменатели на простые множители:

$9 = 3 \cdot 3 = 3^2$

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

НОК(9, 12) является произведением всех простых множителей, взятых в наибольшей встречающейся степени:

НОК(9, 12) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Таким образом, наименьший общий знаменатель равен 36. Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби, разделив новый знаменатель на старый.

Для дроби $\frac{4}{9}$ дополнительный множитель равен $36 \div 9 = 4$. Умножим числитель и знаменатель на 4:

$\frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{16}{36}$

Для дроби $\frac{7}{12}$ дополнительный множитель равен $36 \div 12 = 3$. Умножим числитель и знаменатель на 3:

$\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{21}{36}$

Ответ: $\frac{16}{36}$ и $\frac{21}{36}$.

2) Даны дроби $\frac{3}{8}$ и $\frac{4}{15}$.

Найдем НОК знаменателей 8 и 15.

Разложим знаменатели на простые множители:

$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$

$15 = 3 \cdot 5$

Числа 8 и 15 не имеют общих простых множителей, поэтому они являются взаимно простыми. Их НОК равен их произведению.

НОК(8, 15) = $8 \cdot 15 = 120$.

Наименьший общий знаменатель равен 120. Найдем дополнительные множители.

Для дроби $\frac{3}{8}$ дополнительный множитель равен $120 \div 8 = 15$.

$\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 15}{8 \cdot 15} = \frac{45}{120}$

Для дроби $\frac{4}{15}$ дополнительный множитель равен $120 \div 15 = 8$.

$\frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 8}{15 \cdot 8} = \frac{32}{120}$

Ответ: $\frac{45}{120}$ и $\frac{32}{120}$.

3) Даны дроби $\frac{2}{15}$ и $\frac{11}{12}$.

Найдем НОК знаменателей 15 и 12.

Разложим знаменатели на простые множители:

$15 = 3 \cdot 5$

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

НОК(15, 12) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

Наименьший общий знаменатель равен 60. Найдем дополнительные множители.

Для дроби $\frac{2}{15}$ дополнительный множитель равен $60 \div 15 = 4$.

$\frac{2}{15} = \frac{2 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{8}{60}$

Для дроби $\frac{11}{12}$ дополнительный множитель равен $60 \div 12 = 5$.

$\frac{11}{12} = \frac{11 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{55}{60}$

Ответ: $\frac{8}{60}$ и $\frac{55}{60}$.

4) Даны дроби $\frac{3}{10}$, $\frac{3}{8}$ и $\frac{3}{4}$.

Найдем НОК знаменателей 10, 8 и 4.

Разложим знаменатели на простые множители:

$10 = 2 \cdot 5$

$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$

$4 = 2 \cdot 2 = 2^2$

НОК(10, 8, 4) = $2^3 \cdot 5 = 8 \cdot 5 = 40$.

Наименьший общий знаменатель равен 40. Найдем дополнительные множители для каждой дроби.

Для дроби $\frac{3}{10}$ дополнительный множитель равен $40 \div 10 = 4$.

$\frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 4}{10 \cdot 4} = \frac{12}{40}$

Для дроби $\frac{3}{8}$ дополнительный множитель равен $40 \div 8 = 5$.

$\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{15}{40}$

Для дроби $\frac{3}{4}$ дополнительный множитель равен $40 \div 4 = 10$.

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 10}{4 \cdot 10} = \frac{30}{40}$

Ответ: $\frac{12}{40}$, $\frac{15}{40}$ и $\frac{30}{40}$.