Номер 987, страница 226 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел II. Дробные числа и действия над ними. Глава 4. Обыкновенные дроби. Параграф 37. Приведение дробей к общему знаменателю.Сравнение дробей с разными знаменателями. Упражнения - номер 987, страница 226.

Условие.

987. Сравните дроби:

1) $\frac{5}{6}$ и $\frac{7}{11}$;

2) $\frac{7}{13}$ и $\frac{7}{16}$;

3) $\frac{3}{8}$ и $\frac{1}{6}$;

4) $\frac{5}{8}$ и $\frac{7}{10}$;

5) $\frac{3}{7}$ и $\frac{9}{21}$;

6) $\frac{3}{5}$ и $\frac{5}{8}$;

7) $\frac{7}{12}$ и $\frac{11}{18}$;

8) $\frac{10}{21}$ и $\frac{9}{14}$.

Решение.

Решение 2.

1) Чтобы сравнить дроби $\frac{5}{6}$ и $\frac{7}{11}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 6 и 11 равен их произведению, так как они взаимно простые: $6 \cdot 11 = 66$.
Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 11, а второй дроби — на 6:
$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 11}{6 \cdot 11} = \frac{55}{66}$
$\frac{7}{11} = \frac{7 \cdot 6}{11 \cdot 6} = \frac{42}{66}$
Теперь сравним числители полученных дробей. Так как $55 > 42$, то и $\frac{55}{66} > \frac{42}{66}$.
Следовательно, $\frac{5}{6} > \frac{7}{11}$.
Ответ: $\frac{5}{6} > \frac{7}{11}$.

2) Чтобы сравнить дроби $\frac{7}{13}$ и $\frac{7}{16}$, обратим внимание, что у них одинаковые числители. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Это объясняется тем, что одно и то же количество (в данном случае 7) делится на разное число частей. Чем меньше частей, на которые делят, тем больше размер каждой части.
Поскольку знаменатель $13$ меньше знаменателя $16$, то $\frac{7}{13} > \frac{7}{16}$.
Ответ: $\frac{7}{13} > \frac{7}{16}$.

3) Сравним дроби $\frac{3}{8}$ и $\frac{1}{6}$. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для знаменателей 8 и 6 равно 24 (НОК(8, 6) = 24).
Найдем дополнительные множители для каждой дроби:
Для $\frac{3}{8}$ дополнительный множитель: $24 \div 8 = 3$.
Для $\frac{1}{6}$ дополнительный множитель: $24 \div 6 = 4$.
$\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24}$
$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{4}{24}$
Сравниваем числители: $9 > 4$.
Значит, $\frac{9}{24} > \frac{4}{24}$, следовательно $\frac{3}{8} > \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{3}{8} > \frac{1}{6}$.

4) Сравним дроби $\frac{5}{8}$ и $\frac{7}{10}$. Найдем наименьший общий знаменатель для 8 и 10.
НОК(8, 10) = 40.
Приведем дроби к знаменателю 40:
$\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{25}{40}$
$\frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 4}{10 \cdot 4} = \frac{28}{40}$
Так как $25 < 28$, то $\frac{25}{40} < \frac{28}{40}$.
Следовательно, $\frac{5}{8} < \frac{7}{10}$.
Ответ: $\frac{5}{8} < \frac{7}{10}$.

5) Сравним дроби $\frac{3}{7}$ и $\frac{9}{21}$. Заметим, что вторую дробь можно сократить. Числитель и знаменатель дроби $\frac{9}{21}$ имеют общий делитель 3.
$\frac{9}{21} = \frac{9 \div 3}{21 \div 3} = \frac{3}{7}$
Теперь мы сравниваем дроби $\frac{3}{7}$ и $\frac{3}{7}$. Очевидно, что они равны.
Ответ: $\frac{3}{7} = \frac{9}{21}$.

6) Сравним дроби $\frac{3}{5}$ и $\frac{5}{8}$. Приведем их к общему знаменателю. Знаменатели 5 и 8 являются взаимно простыми числами, поэтому наименьший общий знаменатель равен их произведению: $5 \cdot 8 = 40$.
$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{24}{40}$
$\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{25}{40}$
Сравнивая числители, получаем $24 < 25$.
Значит, $\frac{24}{40} < \frac{25}{40}$, и следовательно $\frac{3}{5} < \frac{5}{8}$.
Ответ: $\frac{3}{5} < \frac{5}{8}$.

7) Сравним дроби $\frac{7}{12}$ и $\frac{11}{18}$. Найдем наименьший общий знаменатель для 12 и 18. Для этого разложим числа на простые множители:
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$
НОК(12, 18) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.
Приведем дроби к знаменателю 36:
$\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{21}{36}$
$\frac{11}{18} = \frac{11 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{22}{36}$
Так как $21 < 22$, то $\frac{21}{36} < \frac{22}{36}$.
Следовательно, $\frac{7}{12} < \frac{11}{18}$.
Ответ: $\frac{7}{12} < \frac{11}{18}$.

8) Сравним дроби $\frac{10}{21}$ и $\frac{9}{14}$. Найдем наименьший общий знаменатель для 21 и 14. Разложим числа на простые множители:
$21 = 3 \cdot 7$
$14 = 2 \cdot 7$
НОК(21, 14) = $2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$.
Приведем дроби к знаменателю 42:
$\frac{10}{21} = \frac{10 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{20}{42}$
$\frac{9}{14} = \frac{9 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{27}{42}$
Так как $20 < 27$, то $\frac{20}{42} < \frac{27}{42}$.
Следовательно, $\frac{10}{21} < \frac{9}{14}$.
Ответ: $\frac{10}{21} < \frac{9}{14}$.