Номер 971, страница 221 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел II. Дробные числа и действия над ними. Глава 4. Обыкновенные дроби. Параграф 36. Сокращение дробей. Упражнения - номер 971, страница 221.

Условие.

971. Запишите все неправильные несократимые дроби с числителем 20.

Решение.

Решение 2.

Чтобы найти все неправильные несократимые дроби с числителем 20, нужно определить все возможные знаменатели, удовлетворяющие двум условиям.

1. Условие неправильной дроби.
Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Пусть знаменатель равен $n$. Тогда для дроби $\frac{20}{n}$ должно выполняться условие $20 \ge n$. Также знаменатель должен быть натуральным числом, то есть $n \ge 1$.
Следовательно, знаменатель $n$ может быть любым натуральным числом от 1 до 20 включительно.

2. Условие несократимой дроби.
Несократимая дробь — это дробь, у которой числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами, то есть их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. В нашем случае должно выполняться условие НОД$(20, n) = 1$.

Чтобы найти числа, взаимно простые с 20, разложим 20 на простые множители:
$20 = 2 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$.
Простые делители числа 20 — это 2 и 5. Значит, чтобы дробь $\frac{20}{n}$ была несократимой, знаменатель $n$ не должен делиться ни на 2 (т.е. быть нечетным), ни на 5.

Теперь объединим оба условия: нам нужно найти все натуральные числа $n$ в диапазоне от 1 до 20, которые не делятся ни на 2, ни на 5.

Перечислим все числа от 1 до 20 и вычеркнем те, которые делятся на 2 или на 5:
1 (подходит)
2 (делится на 2)
3 (подходит)
4 (делится на 2)
5 (делится на 5)
6 (делится на 2)
7 (подходит)
8 (делится на 2)
9 (подходит)
10 (делится на 2 и 5)
11 (подходит)
12 (делится на 2)
13 (подходит)
14 (делится на 2)
15 (делится на 5)
16 (делится на 2)
17 (подходит)
18 (делится на 2)
19 (подходит)
20 (делится на 2 и 5)

Подходящие знаменатели: 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19.

Запишем соответствующие дроби: $\frac{20}{1}, \frac{20}{3}, \frac{20}{7}, \frac{20}{9}, \frac{20}{11}, \frac{20}{13}, \frac{20}{17}, \frac{20}{19}$.

Ответ: $\frac{20}{1}, \frac{20}{3}, \frac{20}{7}, \frac{20}{9}, \frac{20}{11}, \frac{20}{13}, \frac{20}{17}, \frac{20}{19}$.