Номер 970, страница 221 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 36. Сокращение дробей. Глава 4. Обыкновенные дроби. Раздел II. Дробные числа и действия над ними - номер 970, страница 221.

970. Запишите все правильные несократимые дроби со знаменателем 18.

Для решения этой задачи необходимо найти все правильные несократимые дроби, знаменатель которых равен 18.

1. Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. В нашем случае знаменатель равен 18, значит, числитель $a$ должен быть натуральным числом, удовлетворяющим условию $1 \le a < 18$. Таким образом, возможные значения для числителя — это целые числа от 1 до 17.

2. Несократимая дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой являются взаимно простыми числами, то есть их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Чтобы дробь $\frac{a}{18}$ была несократимой, число $a$ не должно иметь общих простых делителей с числом 18.

Сначала найдем простые множители знаменателя 18: $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$

Простыми делителями числа 18 являются 2 и 3. Следовательно, чтобы дробь была несократимой, ее числитель $a$ не должен делиться ни на 2, ни на 3.

Теперь необходимо выбрать из всех возможных числителей от 1 до 17 те, которые не делятся ни на 2, ни на 3.

Возможные числители: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17.

Исключим из этого списка все числа, которые делятся на 2 (четные): 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16. Остаются: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17.

Теперь из оставшихся чисел исключим те, которые делятся на 3: 3, 9, 15. Остаются: 1, 5, 7, 11, 13, 17.

Итак, мы нашли все возможные числители. Теперь запишем соответствующие дроби.

Ответ: $\frac{1}{18}, \frac{5}{18}, \frac{7}{18}, \frac{11}{18}, \frac{13}{18}, \frac{17}{18}$.