Номер 970, страница 221 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел II. Дробные числа и действия над ними. Глава 4. Обыкновенные дроби. Параграф 36. Сокращение дробей. Упражнения - номер 970, страница 221.

Условие.

970. Запишите все правильные несократимые дроби со знаменателем 18.

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи необходимо найти все правильные несократимые дроби, знаменатель которых равен 18.

1. Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. В нашем случае знаменатель равен 18, значит, числитель $a$ должен быть натуральным числом, удовлетворяющим условию $1 \le a < 18$. Таким образом, возможные значения для числителя — это целые числа от 1 до 17.

2. Несократимая дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой являются взаимно простыми числами, то есть их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Чтобы дробь $\frac{a}{18}$ была несократимой, число $a$ не должно иметь общих простых делителей с числом 18.

Сначала найдем простые множители знаменателя 18: $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$

Простыми делителями числа 18 являются 2 и 3. Следовательно, чтобы дробь была несократимой, ее числитель $a$ не должен делиться ни на 2, ни на 3.

Теперь необходимо выбрать из всех возможных числителей от 1 до 17 те, которые не делятся ни на 2, ни на 3.

Возможные числители: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17.

Исключим из этого списка все числа, которые делятся на 2 (четные): 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16. Остаются: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17.

Теперь из оставшихся чисел исключим те, которые делятся на 3: 3, 9, 15. Остаются: 1, 5, 7, 11, 13, 17.

Итак, мы нашли все возможные числители. Теперь запишем соответствующие дроби.

Ответ: $\frac{1}{18}, \frac{5}{18}, \frac{7}{18}, \frac{11}{18}, \frac{13}{18}, \frac{17}{18}$.