Номер 959, страница 221 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел II. Дробные числа и действия над ними. Глава 4. Обыкновенные дроби. Параграф 36. Сокращение дробей. Упражнения - номер 959, страница 221.

Условие.

959. Какие из дробей $\frac{11}{12}$, $\frac{7}{42}$, $\frac{9}{111}$, $\frac{5}{42}$, $\frac{12}{68}$, $\frac{13}{36}$ несократимы?

Решение.

Решение 2.

Несократимой называется дробь, числитель и знаменатель которой являются взаимно простыми числами, то есть их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Проверим каждую дробь, чтобы определить, можно ли ее сократить.

$\frac{11}{12}$
Числитель 11 является простым числом, его делители — это 1 и 11. Знаменатель 12 не делится на 11. Следовательно, у чисел 11 и 12 нет общих делителей, кроме 1. Эта дробь является несократимой.

$\frac{7}{42}$
Числитель 7 является простым числом. Проверим, делится ли знаменатель 42 на 7. Поскольку $42 = 7 \cdot 6$, и числитель, и знаменатель делятся на 7. Дробь можно сократить: $\frac{7}{42} = \frac{1}{6}$. Эта дробь является сократимой.

$\frac{9}{111}$
Проверим, есть ли у числителя 9 и знаменателя 111 общие делители. Делители числа 9 — это 1, 3, 9. Проверим, делится ли 111 на 3. Сумма цифр числа 111 равна $1+1+1=3$, что делится на 3. Значит, и само число 111 делится на 3. Поскольку оба числа делятся на 3, дробь является сократимой: $\frac{9}{111} = \frac{3}{37}$.

$\frac{5}{42}$
Числитель 5 является простым числом. Знаменатель 42 не делится на 5, так как его последняя цифра не 0 и не 5. Общих делителей, кроме 1, у чисел 5 и 42 нет. Эта дробь является несократимой.

$\frac{12}{68}$
И числитель 12, и знаменатель 68 являются четными числами, значит, они оба делятся на 2. Следовательно, дробь является сократимой. Можно найти их НОД: $12 = 2^2 \cdot 3$, $68 = 2^2 \cdot 17$. НОД(12, 68) = 4. $\frac{12}{68} = \frac{3}{17}$.

$\frac{13}{36}$
Числитель 13 является простым числом. Проверим, делится ли знаменатель 36 на 13. $13 \cdot 2 = 26$, $13 \cdot 3 = 39$. 36 на 13 не делится. Общих делителей, кроме 1, у чисел 13 и 36 нет. Эта дробь является несократимой.

Итак, несократимыми являются дроби, у которых числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме единицы.
Ответ: $\frac{11}{12}$, $\frac{5}{42}$, $\frac{13}{36}$.