Страница 218 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

948. Пользуясь основным свойством дроби, найдите значение a, при котором верно равенство:

1) $\frac{a}{6} = \frac{9}{54}$;

2) $\frac{7}{a} = \frac{49}{28}$;

3) $\frac{27}{45} = \frac{3}{a}$;

4) $\frac{a}{32} = \frac{5}{8}$.

1) Дано равенство: $\frac{a}{6} = \frac{9}{54}$.
Воспользуемся основным свойством дроби и упростим правую часть. Разделим числитель и знаменатель дроби $\frac{9}{54}$ на их наибольший общий делитель, равный 9:
$\frac{9}{54} = \frac{9 \div 9}{54 \div 9} = \frac{1}{6}$.
Теперь равенство принимает вид: $\frac{a}{6} = \frac{1}{6}$.
Поскольку знаменатели дробей равны, для верности равенства должны быть равны и их числители.
Следовательно, $a = 1$.
Ответ: $a=1$.

2) Дано равенство: $\frac{7}{a} = \frac{49}{28}$.
Упростим дробь в правой части, разделив ее числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 7:
$\frac{49}{28} = \frac{49 \div 7}{28 \div 7} = \frac{7}{4}$.
Теперь равенство принимает вид: $\frac{7}{a} = \frac{7}{4}$.
Так как числители дробей равны, их знаменатели также должны быть равны для сохранения равенства.
Следовательно, $a = 4$.
Ответ: $a=4$.

3) Дано равенство: $\frac{27}{45} = \frac{3}{a}$.
Чтобы найти $a$, приведем левую дробь к виду, где числитель равен 3. Для этого заметим, что числитель правой дроби в $27 \div 3 = 9$ раз меньше числителя левой.
Согласно основному свойству дроби, мы должны разделить и знаменатель левой дроби на то же число 9:
$\frac{27}{45} = \frac{27 \div 9}{45 \div 9} = \frac{3}{5}$.
Подставим упрощенную дробь в исходное равенство: $\frac{3}{5} = \frac{3}{a}$.
Поскольку числители равны, знаменатели также должны быть равны.
Следовательно, $a = 5$.
Ответ: $a=5$.

4) Дано равенство: $\frac{a}{32} = \frac{5}{8}$.
Приведем правую дробь к знаменателю 32. Для этого нужно умножить ее знаменатель 8 на 4 ($8 \cdot 4 = 32$).
По основному свойству дроби, мы должны умножить и числитель правой дроби на то же число 4:
$\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 4}{8 \cdot 4} = \frac{20}{32}$.
Теперь исходное равенство можно записать так: $\frac{a}{32} = \frac{20}{32}$.
Так как знаменатели дробей равны, для верности равенства должны быть равны и их числители.
Следовательно, $a = 20$.
Ответ: $a=20$.

949. Пользуясь основным свойством дроби, найдите значение $a$, при котором верно равенство:

1) $\frac{a}{5} = \frac{6}{15}$;

2) $\frac{1}{12} = \frac{4}{a}$;

3) $\frac{56}{70} = \frac{8}{a}$;

4) $\frac{a}{60} = \frac{6}{5}$.

1) В равенстве $ \frac{a}{5} = \frac{6}{15} $ знаменатель второй дроби (15) в 3 раза больше знаменателя первой дроби (5), так как $ 15 \div 5 = 3 $. Согласно основному свойству дроби, чтобы равенство было верным, числитель второй дроби (6) также должен быть в 3 раза больше числителя первой ($a$). Таким образом, $ a \cdot 3 = 6 $. Отсюда находим $ a = 6 \div 3 = 2 $.

Ответ: $ a = 2 $.

2) В равенстве $ \frac{1}{12} = \frac{4}{a} $ числитель второй дроби (4) в 4 раза больше числителя первой дроби (1), так как $ 4 \div 1 = 4 $. Согласно основному свойству дроби, чтобы равенство сохранилось, знаменатель второй дроби ($a$) также должен быть в 4 раза больше знаменателя первой (12). Таким образом, $ a = 12 \cdot 4 = 48 $.

Ответ: $ a = 48 $.

3) В равенстве $ \frac{56}{70} = \frac{8}{a} $ числитель второй дроби (8) в 7 раз меньше числителя первой дроби (56), так как $ 56 \div 8 = 7 $. Согласно основному свойству дроби, чтобы равенство было верным, знаменатель второй дроби ($a$) также должен быть в 7 раз меньше знаменателя первой (70). Таким образом, $ a = 70 \div 7 = 10 $.

Ответ: $ a = 10 $.

4) В равенстве $ \frac{a}{60} = \frac{6}{5} $ знаменатель первой дроби (60) в 12 раз больше знаменателя второй дроби (5), так как $ 60 \div 5 = 12 $. Согласно основному свойству дроби, чтобы равенство выполнялось, числитель первой дроби ($a$) также должен быть в 12 раз больше числителя второй (6). Таким образом, $ a = 6 \cdot 12 = 72 $.

Ответ: $ a = 72 $.

950. Решите уравнение:

1) $\frac{x+3}{65} = \frac{4}{13}$;

2) $\frac{7}{x+4} = \frac{21}{60}$;

3) $\frac{5x-8}{5} = \frac{18}{45}$.

1) Дано уравнение: $\frac{x+3}{65} = \frac{4}{13}$.

Это уравнение является пропорцией. Для его решения можно использовать основное свойство пропорции (перекрестное умножение): произведение крайних членов равно произведению средних.

$13 \cdot (x+3) = 65 \cdot 4$

Можно также решить уравнение, домножив обе части на 65, чтобы избавиться от знаменателя в левой части:

$x+3 = \frac{4 \cdot 65}{13}$

Так как $65 \div 13 = 5$, получаем:

$x+3 = 4 \cdot 5$

$x+3 = 20$

Теперь, чтобы найти $x$, вычтем 3 из обеих частей уравнения:

$x = 20 - 3$

$x = 17$

Ответ: 17

2) Дано уравнение: $\frac{7}{x+4} = \frac{21}{60}$.

Сначала упростим дробь в правой части уравнения, сократив ее. Числитель и знаменатель делятся на 3:

$\frac{21 \div 3}{60 \div 3} = \frac{7}{20}$

Теперь уравнение имеет вид:

$\frac{7}{x+4} = \frac{7}{20}$

Поскольку числители дробей в обеих частях уравнения равны, то для равенства дробей необходимо, чтобы их знаменатели также были равны.

$x+4 = 20$

Вычтем 4 из обеих частей уравнения, чтобы найти $x$:

$x = 20 - 4$

$x = 16$

При этом нужно учесть, что знаменатель не должен быть равен нулю: $x+4 \neq 0$, то есть $x \neq -4$. Найденный корень $x=16$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: 16

3) Дано уравнение: $\frac{5x-8}{5} = \frac{18}{45}$.

Упростим дробь в правой части уравнения. Числитель и знаменатель делятся на 9:

$\frac{18 \div 9}{45 \div 9} = \frac{2}{5}$

Уравнение принимает вид:

$\frac{5x-8}{5} = \frac{2}{5}$

Так как знаменатели в обеих частях уравнения равны, то для выполнения равенства должны быть равны и числители.

$5x-8 = 2$

Прибавим 8 к обеим частям уравнения:

$5x = 2 + 8$

$5x = 10$

Разделим обе части уравнения на 5, чтобы найти $x$:

$x = \frac{10}{5}$

$x = 2$

Ответ: 2

951. Решите уравнение:

1) $ \frac{x-2}{36} = \frac{5}{12} $;

2) $ \frac{x-5}{23} = \frac{36}{92} $;

3) $ \frac{4}{3x-11} = \frac{36}{63} $.

1)

Дано уравнение-пропорция: $\frac{x-2}{36} = \frac{5}{12}$.

Чтобы решить это уравнение, можно воспользоваться основным свойством пропорции (перекрестное умножение) или домножить обе части уравнения на такое число, чтобы избавиться от знаменателей. Умножим обе части уравнения на 36:

$36 \cdot \frac{x-2}{36} = 36 \cdot \frac{5}{12}$

В левой части 36 сокращается, а в правой части 36 делится на 12:

$x-2 = 3 \cdot 5$

$x-2 = 15$

Теперь, чтобы найти $x$, перенесем -2 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$x = 15 + 2$

$x = 17$

Ответ: $17$.

2)

Дано уравнение: $\frac{x-5}{23} = \frac{36}{92}$.

Сначала упростим дробь в правой части уравнения. Заметим, что и числитель 36, и знаменатель 92 делятся на 4.

$\frac{36}{92} = \frac{36 \div 4}{92 \div 4} = \frac{9}{23}$

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$\frac{x-5}{23} = \frac{9}{23}$

Так как знаменатели дробей в обеих частях уравнения равны, то для равенства дробей необходимо, чтобы были равны и их числители:

$x-5 = 9$

Перенесем -5 в правую часть с противоположным знаком:

$x = 9 + 5$

$x = 14$

Ответ: $14$.

3)

Дано уравнение: $\frac{4}{3x-11} = \frac{36}{63}$.

Сначала упростим дробь в правой части уравнения. Числитель 36 и знаменатель 63 делятся на 9.

$\frac{36}{63} = \frac{36 \div 9}{63 \div 9} = \frac{4}{7}$

Подставим упрощенную дробь в уравнение:

$\frac{4}{3x-11} = \frac{4}{7}$

Поскольку числители дробей в обеих частях уравнения равны (и не равны нулю), то для равенства дробей необходимо, чтобы были равны и их знаменатели. При этом нужно убедиться, что знаменатель не равен нулю.

$3x - 11 = 7$

Перенесем -11 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$3x = 7 + 11$

$3x = 18$

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти $x$:

$x = \frac{18}{3}$

$x = 6$

Проверим, что при $x=6$ знаменатель не обращается в ноль: $3 \cdot 6 - 11 = 18 - 11 = 7 \neq 0$. Условие выполнено.

Ответ: $6$.

952. Леденец стоит 16 сольдо. У Буратино есть 20 монет по 10 сольдо. Какое наибольшее количество леденцов может купить Буратино, чтобы продавцу не нужно было давать ему сдачу?

Пусть $k$ — это количество леденцов, которое хочет купить Буратино. Стоимость одного леденца составляет 16 сольдо, следовательно, общая стоимость $k$ леденцов будет равна $16 \cdot k$ сольдо.

У Буратино есть только монеты достоинством 10 сольдо. По условию задачи, продавец не должен давать сдачу. Это означает, что общая стоимость покупки должна быть такой, чтобы ее можно было оплатить точным количеством монет по 10 сольдо. Иными словами, общая стоимость $16 \cdot k$ должна быть кратна 10.

Нам нужно найти такое целое число $k$, чтобы произведение $16 \cdot k$ делилось на 10. Это равносильно тому, что $16 \cdot k$ является общим кратным чисел 16 и 10.

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 16 и 10, чтобы определить минимальную возможную стоимость покупки без сдачи.Разложим числа на простые множители:$16 = 2^4$$10 = 2 \cdot 5$$НОК(16, 10) = 2^4 \cdot 5 = 16 \cdot 5 = 80$.

Значит, любая сумма, которую Буратино может заплатить без сдачи, должна быть кратна 80.Пусть общая стоимость покупки равна $S$. Тогда $S = 80 \cdot n$, где $n$ — натуральное число.

Количество леденцов $k$ при такой стоимости будет:$k = \frac{S}{16} = \frac{80n}{16} = 5n$

Количество монет по 10 сольдо, которое потребуется для оплаты:$m = \frac{S}{10} = \frac{80n}{10} = 8n$

У Буратино есть всего 20 монет, поэтому количество монет, которое он потратит, не может превышать 20:$m \le 20$$8n \le 20$$n \le \frac{20}{8}$$n \le 2.5$

Так как $n$ должно быть целым числом (поскольку оно определяет количество "минимальных партий" покупки), то наибольшее возможное целое значение для $n$ равно 2.

Теперь найдем наибольшее количество леденцов $k$, подставив максимальное значение $n=2$ в формулу $k = 5n$:$k = 5 \cdot 2 = 10$.

Проверим, хватит ли монет на такую покупку. Количество монет $m$ при $n=2$ составит:$m = 8 \cdot 2 = 16$.Поскольку $16 \le 20$, у Буратино достаточно монет, чтобы купить 10 леденцов. Стоимость этой покупки составит $10 \cdot 16 = 160$ сольдо, что равно стоимости 16 монет по 10 сольдо.

Ответ: 10.

953. В среднем сердце человека делает 75 ударов в минуту. Сколько ударов делает сердце в течение суток? Сколько литров крови сердце перекачивает за 1 мин, если оно перекачивает за сутки 8640 л крови?

Сколько ударов делает сердце в течение суток?

Чтобы найти общее количество ударов сердца за сутки, необходимо сначала вычислить, сколько минут в сутках, а затем умножить это число на среднее количество ударов в минуту.

1. В сутках 24 часа, в каждом часе 60 минут. Найдем количество минут в сутках:

$24 \text{ часа} \times 60 \frac{\text{минут}}{\text{час}} = 1440 \text{ минут}$

2. Теперь умножим количество минут в сутках на количество ударов в минуту:

$1440 \text{ минут} \times 75 \frac{\text{ударов}}{\text{минута}} = 108000 \text{ ударов}$

Ответ: 108000 ударов.

Сколько литров крови сердце перекачивает за 1 мин, если оно перекачивает за сутки 8640 л крови?

Чтобы найти, сколько литров крови сердце перекачивает за одну минуту, нужно общее количество перекачанной за сутки крови разделить на количество минут в сутках.

1. Как мы уже выяснили, в сутках 1440 минут.

2. Разделим общий объем крови на количество минут:

$8640 \text{ литров} \div 1440 \text{ минут} = 6 \frac{\text{литров}}{\text{минута}}$

Ответ: 6 литров.

954. От пристани отправился теплоход со скоростью $18 \text{ км/ч}$. Через $3 \text{ ч}$ после этого от пристани в том же направлении отправился второй теплоход, который догнал первый через $9 \text{ ч}$ после своего выхода. Найдите скорость второго теплохода.

Для решения задачи необходимо определить расстояние, которое прошел первый теплоход до момента, когда его догнал второй. Затем, зная это расстояние и время, за которое второй теплоход его прошел, мы сможем найти скорость второго теплохода.

1. Найдем общее время, которое был в пути первый теплоход. Он отправился на 3 часа раньше второго и был в пути еще 9 часов до того, как его догнали.
$t_1 = 3 \text{ ч} + 9 \text{ ч} = 12 \text{ ч}$

2. Рассчитаем расстояние, которое прошел первый теплоход за это время. Расстояние равно произведению скорости на время.
$S_1 = v_1 \times t_1 = 18 \text{ км/ч} \times 12 \text{ ч} = 216 \text{ км}$

3. Поскольку второй теплоход догнал первый, он прошел такое же расстояние от пристани, то есть $S_2 = 216$ км.

4. По условию, второй теплоход находился в пути 9 часов ($t_2 = 9$ ч).

5. Теперь найдем скорость второго теплохода, разделив пройденное им расстояние на время в пути.
$v_2 = S_2 / t_2 = 216 \text{ км} / 9 \text{ ч} = 24 \text{ км/ч}$

Ответ: 24 км/ч.

955. Из одного города в другой со скоростью 60 км/ч выехал автомобиль. Через 3 ч из другого города навстречу ему выехал второй автомобиль. Они встретились через 7 ч после начала движения первого автомобиля. Найдите скорость второго автомобиля, если расстояние между городами равно 700 км.

Для решения задачи выполним следующие действия по порядку:

1. Найдем расстояние, которое проехал первый автомобиль до встречи.
Скорость первого автомобиля $v_1 = 60$ км/ч. Он был в пути до встречи $t_1 = 7$ ч. Расстояние, которое он проехал за это время, рассчитывается по формуле $S = v \cdot t$:
$S_1 = 60 \text{ км/ч} \cdot 7 \text{ ч} = 420 \text{ км}$.

2. Определим, сколько времени был в пути второй автомобиль.
Второй автомобиль выехал на 3 часа позже первого. Так как встреча произошла через 7 часов после выезда первого автомобиля, время в пути второго автомобиля составляет:
$t_2 = 7 \text{ ч} - 3 \text{ ч} = 4 \text{ ч}$.

3. Найдем расстояние, которое проехал второй автомобиль до встречи.
Общее расстояние между городами равно 700 км. Это расстояние является суммой путей, пройденных обоими автомобилями до их встречи. Таким образом, чтобы найти расстояние, которое проехал второй автомобиль ($S_2$), нужно из общего расстояния вычесть расстояние, пройденное первым автомобилем ($S_1$):
$S_2 = 700 \text{ км} - S_1 = 700 \text{ км} - 420 \text{ км} = 280 \text{ км}$.

4. Вычислим скорость второго автомобиля.
Мы знаем, что второй автомобиль проехал расстояние $S_2 = 280$ км за время $t_2 = 4$ ч. Его скорость ($v_2$) можно найти по формуле $v = S / t$:
$v_2 = \frac{280 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 70 \text{ км/ч}$.

Ответ: 70 км/ч.

956. На поле размером $10 \times 10$ клеток для игры в морской бой поставили корабль прямоугольной формы размером $1 \times 3$ клетки. Можно ли, сделав 33 выстрела, наверняка в него попасть?

Да, можно. Чтобы гарантировать попадание в корабль размером $1 \times 3$ на поле $10 \times 10$ за 33 выстрела, можно применить стратегию, основанную на раскраске поля в три цвета.

Присвоим каждой клетке с координатами $(i, j)$, где $i$ – номер строки, а $j$ – номер столбца (считая от 1 до 10), один из трех цветов в зависимости от остатка от деления суммы ее координат на 3. То есть, цвет клетки $(i, j)$ будет определяться значением $(i+j) \pmod 3$.

Рассмотрим любой возможный корабль размером $1 \times 3$.

• Если корабль расположен горизонтально, он занимает три соседние клетки в одной строке, например, $(i, j)$, $(i, j+1)$ и $(i, j+2)$. Суммы координат для этих клеток равны $i+j$, $i+j+1$ и $i+j+2$. Это три последовательных целых числа. При делении на 3 они всегда дают три разных остатка: 0, 1 и 2. Это означает, что любой горизонтальный корабль занимает ровно по одной клетке каждого из трех цветов.
• Если корабль расположен вертикально, он занимает три соседние клетки в одном столбце, например, $(i, j)$, $(i+1, j)$ и $(i+2, j)$. Суммы координат для этих клеток равны $i+j$, $i+1+j$ и $i+2+j$. Это также три последовательных целых числа, и при делении на 3 они также дают три разных остатка: 0, 1 и 2. Это означает, что любой вертикальный корабль также занимает ровно по одной клетке каждого из трех цветов.

Таким образом, мы доказали, что любой корабль размером $1 \times 3$, как бы он ни был расположен, всегда занимает по одной клетке каждого из трех цветов.

Теперь необходимо подсчитать, сколько клеток каждого цвета находится на поле $10 \times 10$. Общее число клеток равно $100$.

• Количество клеток, для которых $(i+j) \pmod 3 = 2$: 34 клетки.
• Количество клеток, для которых $(i+j) \pmod 3 = 1$: 33 клетки.
• Количество клеток, для которых $(i+j) \pmod 3 = 0$: 33 клетки.

(Проверка: $34 + 33 + 33 = 100$).

Поскольку любой корабль гарантированно содержит по одной клетке каждого цвета, для гарантированного попадания достаточно "накрыть" выстрелами все клетки одного из цветов. Чтобы использовать наименьшее возможное количество выстрелов для такой стратегии, следует выбрать цвет, которому соответствует наименьшее количество клеток. В нашем случае есть два таких "цвета" (группы клеток), каждый из которых состоит из 33 клеток.

Следовательно, выбрав любую из этих двух групп и сделав 33 выстрела по всем ее клеткам, мы гарантированно попадем в корабль, так как он обязан занимать одну клетку из выбранной группы.

Ответ: Да, можно.