Страница 214 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

9. Чему равно наименьшее натуральное значение $m$, при котором верно неравенство $m > \frac{35}{6}$?

А) 4

Б) 5

В) 6

Г) 7

Для решения задачи необходимо найти наименьшее натуральное число $m$, которое удовлетворяет неравенству $m > \frac{35}{6}$.

Сначала преобразуем неправильную дробь $\frac{35}{6}$ в смешанное число. Для этого разделим числитель 35 на знаменатель 6 с остатком:

$35 \div 6 = 5$ с остатком $5$.

Таким образом, дробь $\frac{35}{6}$ равна смешанному числу $5\frac{5}{6}$.

Теперь неравенство можно переписать в виде: $m > 5\frac{5}{6}$.

В задаче требуется найти наименьшее натуральное число $m$, которое больше $5\frac{5}{6}$. Натуральные числа – это целые положительные числа (1, 2, 3, ...).

Рассмотрим натуральные числа, близкие к $5\frac{5}{6}$:

• Число 5 меньше, чем $5\frac{5}{6}$, поэтому оно не удовлетворяет неравенству.
• Следующее за 5 натуральное число – это 6. Проверим его: $6 > 5\frac{5}{6}$. Это неравенство верно.

Поскольку 6 – это первое натуральное число, которое больше, чем $5\frac{5}{6}$, оно и является наименьшим натуральным значением $m$, удовлетворяющим условию.

Ответ: 6

10. Какое число должно стоять в конце цепочки вычислений?

$6 \frac{3}{11} +1 \frac{2}{11} -4 \frac{8}{11} +3 \frac{3}{11} = ?$

А) $6$

Б) $7$

В) $6 \frac{6}{11}$

Г) $5 \frac{10}{11}$

Для того чтобы найти число, которое должно стоять в конце цепочки, необходимо последовательно выполнить все указанные математические операции.

1. Первое действие: Сложение

К начальному числу $6\frac{3}{11}$ прибавляем $1\frac{2}{11}$. Для этого сложим отдельно целые и дробные части:

$6\frac{3}{11} + 1\frac{2}{11} = (6 + 1) + (\frac{3}{11} + \frac{2}{11}) = 7 + \frac{3+2}{11} = 7\frac{5}{11}$

2. Второе действие: Вычитание

Из результата первого шага $7\frac{5}{11}$ вычитаем $4\frac{8}{11}$. Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{5}{11}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{8}{11}$), необходимо "занять" единицу у целой части:

$7\frac{5}{11} = 6 + 1 + \frac{5}{11} = 6 + \frac{11}{11} + \frac{5}{11} = 6\frac{16}{11}$

Теперь выполняем вычитание:

$6\frac{16}{11} - 4\frac{8}{11} = (6 - 4) + (\frac{16}{11} - \frac{8}{11}) = 2 + \frac{16-8}{11} = 2\frac{8}{11}$

3. Третье действие: Сложение

К результату второго шага $2\frac{8}{11}$ прибавляем $3\frac{3}{11}$:

$2\frac{8}{11} + 3\frac{3}{11} = (2 + 3) + (\frac{8}{11} + \frac{3}{11}) = 5 + \frac{8+3}{11} = 5 + \frac{11}{11} = 5 + 1 = 6$

В конце цепочки вычислений получается число 6.

Ответ: 6

11. При каком наибольшем натуральном значении m дробь $ \frac{30}{5m + 10} $ будет неправильной?

А) 3

Б) 4

В) 5

Г) 6

Дробь называется неправильной, если ее числитель больше или равен знаменателю. В данном случае числитель дроби равен 30, а знаменатель равен $5m + 10$.

Для того чтобы дробь $\frac{30}{5m + 10}$ была неправильной, должно выполняться следующее неравенство:

$30 \ge 5m + 10$

В задаче требуется найти наибольшее натуральное значение $m$. Натуральные числа — это целые положительные числа ($m \in \{1, 2, 3, \dots\}$).

Теперь решим неравенство, чтобы найти возможные значения $m$:

Вычтем 10 из обеих частей неравенства:

$30 - 10 \ge 5m$

$20 \ge 5m$

Разделим обе части неравенства на 5:

$\frac{20}{5} \ge m$

$4 \ge m$

Это неравенство можно записать как $m \le 4$.

Мы ищем наибольшее натуральное число $m$, которое удовлетворяет условию $m \le 4$. Натуральными числами, удовлетворяющими этому условию, являются 1, 2, 3 и 4.

Наибольшее из этих чисел — 4.

Ответ: 4

12. Укажите все натуральные значения a, при которых каждая из

дробей $\frac{a}{7}$ и $\frac{4}{a}$ будет правильной.

A) 4; 5; 6; 7

Б) 5; 6

В) 5; 6; 7

Г) таких значений не существует

По условию задачи, обе дроби, $\frac{a}{7}$ и $\frac{4}{a}$, должны быть правильными, а значение $a$ должно быть натуральным. Вспомним, что правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя.

Рассмотрим каждое условие отдельно:

1. Дробь $\frac{a}{7}$ является правильной.
Это означает, что ее числитель $a$ должен быть меньше знаменателя 7.
Получаем первое неравенство: $a < 7$.
Так как $a$ — натуральное число ($a \ge 1$), то этому условию удовлетворяют значения $a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

2. Дробь $\frac{4}{a}$ является правильной.
Это означает, что ее числитель 4 должен быть меньше знаменателя $a$.
Получаем второе неравенство: $4 < a$.
Этому условию удовлетворяют натуральные значения $a \in \{5, 6, 7, 8, ...\}$.

Для того чтобы обе дроби были правильными, оба условия должны выполняться одновременно. Таким образом, нам нужно найти натуральные значения $a$, которые удовлетворяют системе неравенств:

$\begin{cases} a < 7 \\ a > 4 \end{cases}$

Это можно записать в виде двойного неравенства: $4 < a < 7$.

Натуральными числами, которые строго больше 4 и строго меньше 7, являются 5 и 6.

Следовательно, искомые значения $a$ — это 5 и 6. Этот набор чисел соответствует варианту Б).

Ответ: Б) 5; 6