Страница 212 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

933. При каких натуральных значениях $a$ является верным неравенство $\frac{10}{a} < a$, левая часть которого — неправильная дробь?

Для решения задачи необходимо найти все натуральные значения $a$, которые удовлетворяют двум условиям одновременно:

1. Дробь $\frac{10}{a}$ является неправильной.
2. Неравенство $\frac{10}{a} < a$ является верным.

Рассмотрим первое условие. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. В данном случае это означает, что $10 \ge a$. Поскольку по условию $a$ — натуральное число, оно должно быть целым и положительным ($a \ge 1$). Объединяя эти два факта, получаем, что возможные значения для $a$ принадлежат множеству $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$.

Теперь рассмотрим второе условие: $\frac{10}{a} < a$. Так как $a$ является натуральным числом, то оно положительно ($a > 0$). Мы можем умножить обе части неравенства на $a$, при этом знак неравенства не изменится:
$10 < a \cdot a$
$10 < a^2$

Нам осталось найти такие значения $a$ из множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$, для которых выполняется неравенство $a^2 > 10$. Проверим каждое из возможных значений:

• При $a=1$, $1^2 = 1$. Неравенство $1 > 10$ ложно.
• При $a=2$, $2^2 = 4$. Неравенство $4 > 10$ ложно.
• При $a=3$, $3^2 = 9$. Неравенство $9 > 10$ ложно.
• При $a=4$, $4^2 = 16$. Неравенство $16 > 10$ истинно.
• При $a=5$, $5^2 = 25$. Неравенство $25 > 10$ истинно.
• При $a=6$, $6^2 = 36$. Неравенство $36 > 10$ истинно.
• При $a=7$, $7^2 = 49$. Неравенство $49 > 10$ истинно.
• При $a=8$, $8^2 = 64$. Неравенство $64 > 10$ истинно.
• При $a=9$, $9^2 = 81$. Неравенство $81 > 10$ истинно.
• При $a=10$, $10^2 = 100$. Неравенство $100 > 10$ истинно.

Таким образом, натуральные значения $a$, удовлетворяющие всем условиям задачи, это $4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$.

Ответ: $4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$.

934. Одна из сторон треугольника в 2 раза меньше второй и на 7 см меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 39 см.

Пусть длина первой стороны треугольника равна $x$ см.

Из условия известно, что первая сторона в 2 раза меньше второй. Это означает, что вторая сторона в 2 раза больше первой, то есть ее длина составляет $2x$ см.

Также известно, что первая сторона на 7 см меньше третьей. Это означает, что третья сторона на 7 см больше первой, и ее длина составляет $x + 7$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. По условию, периметр равен 39 см. Можем составить уравнение:

$x + 2x + (x + 7) = 39$

Решим это уравнение. Сначала приведем подобные слагаемые в левой части:

$4x + 7 = 39$

Теперь перенесем 7 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$4x = 39 - 7$

$4x = 32$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:

$x = 32 / 4$

$x = 8$

Итак, длина первой стороны равна 8 см.

Теперь найдем длины двух других сторон:

• Длина второй стороны: $2x = 2 \cdot 8 = 16$ см.
• Длина третьей стороны: $x + 7 = 8 + 7 = 15$ см.

Проверим: $8 + 16 + 15 = 39$ см. Периметр сходится.

Ответ: стороны треугольника равны 8 см, 16 см и 15 см.

935. Общая площадь трёх крупнейших волжских водохранилищ: Куйбышевского, Рыбинского и Волгоградского – составляет $14147 \text{ км}^2$.
Площадь Волгоградского водохранилища на $1463 \text{ км}^2$ меньше площади Рыбинского водохранилища и на $3333 \text{ км}^2$ меньше площади Куйбышевского водохранилища. Найдите площадь каждого водохранилища.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ км² — площадь Волгоградского водохранилища.

Из условия известно, что площадь Волгоградского водохранилища на 1463 км² меньше площади Рыбинского. Это означает, что площадь Рыбинского водохранилища на 1463 км² больше площади Волгоградского. Таким образом, площадь Рыбинского водохранилища составляет:
$(x + 1463)$ км².

Также из условия известно, что площадь Волгоградского водохранилища на 3333 км² меньше площади Куйбышевского. Это означает, что площадь Куйбышевского водохранилища на 3333 км² больше площади Волгоградского. Таким образом, площадь Куйбышевского водохранилища составляет:
$(x + 3333)$ км².

Общая площадь трёх водохранилищ составляет 14 147 км². Мы можем составить уравнение, сложив площади всех трёх водохранилищ:
$x + (x + 1463) + (x + 3333) = 14147$

Решим полученное уравнение:
$3x + 1463 + 3333 = 14147$
$3x + 4796 = 14147$
$3x = 14147 - 4796$
$3x = 9351$
$x = 9351 / 3$
$x = 3117$
Таким образом, площадь Волгоградского водохранилища составляет 3117 км².

Теперь найдем площади двух других водохранилищ:
1. Площадь Рыбинского водохранилища: $3117 + 1463 = 4580$ км².
2. Площадь Куйбышевского водохранилища: $3117 + 3333 = 6450$ км².

Ответ: площадь Куйбышевского водохранилища — 6450 км², площадь Рыбинского водохранилища — 4580 км², площадь Волгоградского водохранилища — 3117 км².

936. Пакет кефира стоит 68 р. У Кати есть 200 р. Какое наибольшее количество пакетов кефира она может купить? Сколько денег останется у Кати?

Какое наибольшее количество пакетов кефира она может купить?
Чтобы найти наибольшее количество пакетов кефира, которое может купить Катя, нужно разделить имеющуюся у нее сумму денег на стоимость одного пакета и взять целую часть от результата деления.
Выполним деление с остатком:
$200 \div 68 = 2$ (остаток $64$)
Целая часть от деления равна 2. Это означает, что на 200 рублей можно купить 2 пакета кефира.
Проверим: $2 \times 68 = 136$ р., что меньше 200 р. А на 3 пакета денег уже не хватит: $3 \times 68 = 204$ р., что больше 200 р.
Ответ: 2 пакета.

Сколько денег останется у Кати?
Чтобы найти, сколько денег останется, нужно из начальной суммы вычесть стоимость сделанной покупки. Сначала найдем стоимость двух пакетов кефира:
$2 \times 68 = 136$ р.
Теперь вычтем стоимость покупки из общей суммы денег:
$200 - 136 = 64$ р.
Эта сумма также является остатком от деления, которое мы выполнили в первом пункте.
Ответ: 64 рубля.

937. Начертите координатный луч, выбрав единичный отрезок, длина которого в 18 раз больше стороны клетки тетради. Отметьте на луче точки, соответствующие числам: $ \frac{1}{18}, \frac{3}{18}, \frac{6}{18}, \frac{7}{18}, \frac{9}{18}, \frac{12}{18}, \frac{15}{18}, \frac{16}{18}, \frac{3}{9}, \frac{8}{9}, \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}, \frac{4}{6}, \frac{5}{6}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{2} $.

Какие из этих чисел изображаются на луче одной и той же точкой? Запишите соответствующие равенства.

Для решения задачи сначала начертим координатный луч согласно условию, а затем определим, какие числа соответствуют одним и тем же точкам.

1. Построение координатного луча

Начертим координатный луч с началом в точке О(0). Единичный отрезок по условию в 18 раз больше стороны клетки тетради. Это значит, что отрезок от 0 до 1 мы разделим на 18 равных частей. Каждая такая часть (равная одной клетке) будет соответствовать $\frac{1}{18}$ единичного отрезка.

Чтобы отметить на луче точку с координатой в виде дроби $\frac{n}{18}$, нужно отложить от начала луча $n$ таких частей (клеток).

• Точка $\frac{1}{18}$ находится на расстоянии 1 клетки от начала.
• Точка $\frac{3}{18}$ находится на расстоянии 3 клеток от начала.
• Точка $\frac{6}{18}$ находится на расстоянии 6 клеток от начала.
• Точка $\frac{7}{18}$ находится на расстоянии 7 клеток от начала.
• Точка $\frac{9}{18}$ находится на расстоянии 9 клеток от начала.
• Точка $\frac{12}{18}$ находится на расстоянии 12 клеток от начала.
• Точка $\frac{15}{18}$ находится на расстоянии 15 клеток от начала.
• Точка $\frac{16}{18}$ находится на расстоянии 16 клеток от начала.

Ниже представлен схематический вид координатного луча с отмеченными точками. Числа из первого списка отмечены над лучом, а соответствующие им числа из второго списка — под лучом.

Какие из этих чисел изображаются на луче одной и той же точкой? Запишите соответствующие равенства.

Чтобы найти числа, которые изображаются одной и той же точкой, нужно сравнить их значения. Для этого приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел из обоих списков (со знаменателями 18, 9, 6, 3, 2) равен 18.

Приведем дроби из второго списка к знаменателю 18:

• $\frac{3}{9} = \frac{3 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{6}{18}$
• $\frac{8}{9} = \frac{8 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{16}{18}$
• $\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{3}{18}$
• $\frac{2}{6} = \frac{2 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{6}{18}$
• $\frac{3}{6} = \frac{3 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{9}{18}$
• $\frac{4}{6} = \frac{4 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{12}{18}$
• $\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{15}{18}$
• $\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 6}{3 \cdot 6} = \frac{6}{18}$
• $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 6}{3 \cdot 6} = \frac{12}{18}$
• $\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 9}{2 \cdot 9} = \frac{9}{18}$

Теперь мы можем сгруппировать равные дроби из обоих списков. Это и будут числа, изображаемые одной и той же точкой на луче.

Равенства для чисел, изображаемых одной и той же точкой:

• Точка на расстоянии 3 клеток от начала ($\frac{3}{18}$): $\frac{3}{18} = \frac{1}{6}$
• Точка на расстоянии 6 клеток от начала ($\frac{6}{18}$): $\frac{6}{18} = \frac{3}{9} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
• Точка на расстоянии 9 клеток от начала ($\frac{9}{18}$): $\frac{9}{18} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
• Точка на расстоянии 12 клеток от начала ($\frac{12}{18}$): $\frac{12}{18} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
• Точка на расстоянии 15 клеток от начала ($\frac{15}{18}$): $\frac{15}{18} = \frac{5}{6}$
• Точка на расстоянии 16 клеток от начала ($\frac{16}{18}$): $\frac{16}{18} = \frac{8}{9}$

Ответ:

$\frac{3}{18} = \frac{1}{6}$

$\frac{6}{18} = \frac{3}{9} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$\frac{9}{18} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

$\frac{12}{18} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$\frac{15}{18} = \frac{5}{6}$

$\frac{16}{18} = \frac{8}{9}$

938. Вася Ленивцев решил задачу 933 и получил такой ответ: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Найдите и исправьте ошибки.

Чтобы найти и исправить ошибки Васи Ленивцева, необходимо сначала решить задачу 933, на которую он давал ответ. Условие задачи 933: «Какие из чисел 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 являются: а) простыми; б) составными?».

Ответ, который дал Вася: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Анализ ошибок Васи:
1. Незавершенность: Вася рассмотрел числа только до 9, хотя в задаче был дан ряд чисел до 20. Вероятно, он поленился (что соответствует его фамилии) и не доделал задачу до конца.
2. Неправильная классификация: В его ответе смешаны как простые числа (3, 5, 7), так и составные (4, 6, 8, 9). Это говорит о том, что он не понимает разницы между этими понятиями.
3. Пропуск числа: Вася не включил в ответ число 2, которое является простым.

Правильное решение задачи 933:

Вспомним определения:
Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя.
Составное число — это натуральное число больше 1, которое имеет и другие делители, кроме 1 и самого себя.

а)

Выберем из ряда 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 все простые числа. Для этого проверим каждое число:
2 — простое (делители 1, 2).
3 — простое (делители 1, 3).
4 — составное, так как $4=2 \cdot 2$.
5 — простое (делители 1, 5).
6 — составное, так как $6=2 \cdot 3$.
7 — простое (делители 1, 7).
8 — составное, так как $8=2 \cdot 4$.
9 — составное, так как $9=3 \cdot 3$.
10 — составное, так как $10=2 \cdot 5$.
11 — простое (делители 1, 11).
12 — составное, так как $12=3 \cdot 4$.
13 — простое (делители 1, 13).
14 — составное, так как $14=2 \cdot 7$.
15 — составное, так как $15=3 \cdot 5$.
16 — составное, так как $16=4 \cdot 4$.
17 — простое (делители 1, 17).
18 — составное, так как $18=2 \cdot 9$.
19 — простое (делители 1, 19).
20 — составное, так как $20=4 \cdot 5$.

Таким образом, простыми являются числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Ответ: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

б)

Выберем из того же ряда составные числа. Это все числа из списка, которые не являются простыми.
На основе анализа из пункта а) получаем следующий ряд составных чисел: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20.
Ответ: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20.

939. Ученики Фёдоров, Сидоров и Петров входят в сборную школы по шахматам. Имена этих учеников Фёдор, Сидор и Пётр. Известно, что фамилия Фёдора не Петров, волосы у Сидора рыжего цвета и учится он в 6 классе; Петров учится в 7 классе, а волосы у Фёдорова чёрного цвета. Укажите фамилию и имя каждого мальчика.

Это логическая задача, которую удобнее всего решать методом исключения, последовательно анализируя все условия.

1. Определение фамилии Сидора

Из условия задачи нам известно несколько фактов о мальчиках:

• У Сидора рыжие волосы и он учится в 6 классе.
• У Фёдорова чёрные волосы.
• Петров учится в 7 классе.

Сравнив эти факты, мы можем сделать следующие выводы:
- Фамилия Сидора не может быть Фёдоров, так как у них разный цвет волос (рыжий у Сидора и чёрный у Фёдорова).
- Фамилия Сидора не может быть Петров, так как они учатся в разных классах (Сидор в 6-м, а Петров в 7-м).
Следовательно, методом исключения единственная оставшаяся фамилия для Сидора — это Сидоров. Таким образом, мы установили первую пару: Сидор Сидоров.

2. Определение фамилии Фёдора

После того как мы определили пару Сидор Сидоров, у нас остались два имени (Фёдор, Пётр) и две фамилии (Фёдоров, Петров).
В условии сказано: "фамилия Фёдора не Петров".
Так как осталась только одна альтернативная фамилия, фамилия Фёдора — Фёдоров. Мы нашли вторую пару: Фёдор Фёдоров.

3. Определение фамилии Петра

Теперь у нас остались последнее свободное имя (Пётр) и последняя фамилия (Петров). Очевидно, что они составляют третью пару: Пётр Петров.

Проверка полученных результатов

Давайте проверим, соответствуют ли наши выводы всем условиям задачи:
- Фёдор Фёдоров: его фамилия не Петров (верно), у него чёрные волосы (соответствует условию "волосы у Фёдорова чёрного цвета").
- Сидор Сидоров: у него рыжие волосы и он учится в 6 классе (верно, соответствует условию).
- Пётр Петров: он учится в 7 классе (соответствует условию "Петров учится в 7 классе").
Все условия соблюдены.

Ответ: Фёдор Фёдоров, Сидор Сидоров и Пётр Петров.