Номер 952, страница 218 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел II. Дробные числа и действия над ними. Глава 4. Обыкновенные дроби. Параграф 35. Основное свойство дроби. Упражнения - номер 952, страница 218.

Условие.

952. Леденец стоит 16 сольдо. У Буратино есть 20 монет по 10 сольдо. Какое наибольшее количество леденцов может купить Буратино, чтобы продавцу не нужно было давать ему сдачу?

Решение.

Решение 2.

Пусть $k$ — это количество леденцов, которое хочет купить Буратино. Стоимость одного леденца составляет 16 сольдо, следовательно, общая стоимость $k$ леденцов будет равна $16 \cdot k$ сольдо.

У Буратино есть только монеты достоинством 10 сольдо. По условию задачи, продавец не должен давать сдачу. Это означает, что общая стоимость покупки должна быть такой, чтобы ее можно было оплатить точным количеством монет по 10 сольдо. Иными словами, общая стоимость $16 \cdot k$ должна быть кратна 10.

Нам нужно найти такое целое число $k$, чтобы произведение $16 \cdot k$ делилось на 10. Это равносильно тому, что $16 \cdot k$ является общим кратным чисел 16 и 10.

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 16 и 10, чтобы определить минимальную возможную стоимость покупки без сдачи.Разложим числа на простые множители:$16 = 2^4$$10 = 2 \cdot 5$$НОК(16, 10) = 2^4 \cdot 5 = 16 \cdot 5 = 80$.

Значит, любая сумма, которую Буратино может заплатить без сдачи, должна быть кратна 80.Пусть общая стоимость покупки равна $S$. Тогда $S = 80 \cdot n$, где $n$ — натуральное число.

Количество леденцов $k$ при такой стоимости будет:$k = \frac{S}{16} = \frac{80n}{16} = 5n$

Количество монет по 10 сольдо, которое потребуется для оплаты:$m = \frac{S}{10} = \frac{80n}{10} = 8n$

У Буратино есть всего 20 монет, поэтому количество монет, которое он потратит, не может превышать 20:$m \le 20$$8n \le 20$$n \le \frac{20}{8}$$n \le 2.5$

Так как $n$ должно быть целым числом (поскольку оно определяет количество "минимальных партий" покупки), то наибольшее возможное целое значение для $n$ равно 2.

Теперь найдем наибольшее количество леденцов $k$, подставив максимальное значение $n=2$ в формулу $k = 5n$:$k = 5 \cdot 2 = 10$.

Проверим, хватит ли монет на такую покупку. Количество монет $m$ при $n=2$ составит:$m = 8 \cdot 2 = 16$.Поскольку $16 \le 20$, у Буратино достаточно монет, чтобы купить 10 леденцов. Стоимость этой покупки составит $10 \cdot 16 = 160$ сольдо, что равно стоимости 16 монет по 10 сольдо.

Ответ: 10.