Номер 3, страница 220 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 36. Сокращение дробей. Глава 4. Обыкновенные дроби. Раздел II. Дробные числа и действия над ними - номер 3, страница 220.

3. На какое число надо сократить дробь, чтобы получилась несократимая дробь?

Чтобы в результате сокращения дроби получилась несократимая дробь, её числитель и знаменатель необходимо разделить на их наибольший общий делитель (НОД).

Пояснение:

Сократить дробь $ \frac{a}{b} $ — значит разделить её числитель $ a $ и знаменатель $ b $ на одно и то же натуральное число $ c $, которое является их общим делителем.

Несократимой называется дробь, числитель и знаменатель которой являются взаимно простыми числами, то есть их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.

Пусть у нас есть дробь $ \frac{a}{b} $. Найдём наибольший общий делитель её числителя и знаменателя: $ d = \text{НОД}(a, b) $.

Если мы разделим числитель и знаменатель на их НОД, мы получим новую дробь $ \frac{a \div d}{b \div d} $. По свойству НОД, числитель и знаменатель этой новой дроби уже не будут иметь общих делителей, кроме 1. Следовательно, полученная дробь будет несократимой.

Пример:

Рассмотрим дробь $ \frac{24}{36} $.

Сначала найдём наибольший общий делитель (НОД) чисел 24 и 36.

• Делители числа 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
• Делители числа 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
• Наибольший общий делитель: $ \text{НОД}(24, 36) = 12 $.

Теперь сократим дробь на найденный НОД, то есть на 12:

$ \frac{24 \div 12}{36 \div 12} = \frac{2}{3} $

Полученная дробь $ \frac{2}{3} $ является несократимой, так как $ \text{НОД}(2, 3) = 1 $.

Если бы мы сократили дробь на другой общий делитель (не наибольший), например, на 6, мы бы получили: $ \frac{24 \div 6}{36 \div 6} = \frac{4}{6} $. Эта дробь является сократимой, так как её ещё можно сократить на 2. Чтобы сразу получить несократимую дробь, нужно делить именно на наибольший общий делитель.

Ответ: Дробь надо сократить на наибольший общий делитель (НОД) её числителя и знаменателя.