Номер 956, страница 218 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел II. Дробные числа и действия над ними. Глава 4. Обыкновенные дроби. Параграф 35. Основное свойство дроби. Упражнения - номер 956, страница 218.

Условие.

956. На поле размером $10 \times 10$ клеток для игры в морской бой поставили корабль прямоугольной формы размером $1 \times 3$ клетки. Можно ли, сделав 33 выстрела, наверняка в него попасть?

Решение.

Решение 2.

Да, можно. Чтобы гарантировать попадание в корабль размером $1 \times 3$ на поле $10 \times 10$ за 33 выстрела, можно применить стратегию, основанную на раскраске поля в три цвета.

Присвоим каждой клетке с координатами $(i, j)$, где $i$ – номер строки, а $j$ – номер столбца (считая от 1 до 10), один из трех цветов в зависимости от остатка от деления суммы ее координат на 3. То есть, цвет клетки $(i, j)$ будет определяться значением $(i+j) \pmod 3$.

Рассмотрим любой возможный корабль размером $1 \times 3$.

• Если корабль расположен горизонтально, он занимает три соседние клетки в одной строке, например, $(i, j)$, $(i, j+1)$ и $(i, j+2)$. Суммы координат для этих клеток равны $i+j$, $i+j+1$ и $i+j+2$. Это три последовательных целых числа. При делении на 3 они всегда дают три разных остатка: 0, 1 и 2. Это означает, что любой горизонтальный корабль занимает ровно по одной клетке каждого из трех цветов.
• Если корабль расположен вертикально, он занимает три соседние клетки в одном столбце, например, $(i, j)$, $(i+1, j)$ и $(i+2, j)$. Суммы координат для этих клеток равны $i+j$, $i+1+j$ и $i+2+j$. Это также три последовательных целых числа, и при делении на 3 они также дают три разных остатка: 0, 1 и 2. Это означает, что любой вертикальный корабль также занимает ровно по одной клетке каждого из трех цветов.

Таким образом, мы доказали, что любой корабль размером $1 \times 3$, как бы он ни был расположен, всегда занимает по одной клетке каждого из трех цветов.

Теперь необходимо подсчитать, сколько клеток каждого цвета находится на поле $10 \times 10$. Общее число клеток равно $100$.

• Количество клеток, для которых $(i+j) \pmod 3 = 2$: 34 клетки.
• Количество клеток, для которых $(i+j) \pmod 3 = 1$: 33 клетки.
• Количество клеток, для которых $(i+j) \pmod 3 = 0$: 33 клетки.

(Проверка: $34 + 33 + 33 = 100$).

Поскольку любой корабль гарантированно содержит по одной клетке каждого цвета, для гарантированного попадания достаточно "накрыть" выстрелами все клетки одного из цветов. Чтобы использовать наименьшее возможное количество выстрелов для такой стратегии, следует выбрать цвет, которому соответствует наименьшее количество клеток. В нашем случае есть два таких "цвета" (группы клеток), каждый из которых состоит из 33 клеток.

Следовательно, выбрав любую из этих двух групп и сделав 33 выстрела по всем ее клеткам, мы гарантированно попадем в корабль, так как он обязан занимать одну клетку из выбранной группы.

Ответ: Да, можно.