Страница 202 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

885. Кот Базилио съел за обедом $\frac{9}{20}$ кг сосисок, а лиса Алиса — на $\frac{3}{20}$ кг больше, чем Базилио. Сколько килограммов сосисок съели за обедом Базилио и Алиса вместе?

1. Узнаем, сколько килограммов сосисок съела лиса Алиса

По условию задачи, кот Базилио съел $ \frac{9}{20} $ кг сосисок, а лиса Алиса съела на $ \frac{3}{20} $ кг больше. Чтобы найти, сколько сосисок съела Алиса, нужно к количеству, которое съел Базилио, прибавить $ \frac{3}{20} $ кг.

$ \frac{9}{20} + \frac{3}{20} = \frac{9+3}{20} = \frac{12}{20} $ (кг)

Ответ: лиса Алиса съела $ \frac{12}{20} $ кг сосисок.

2. Узнаем, сколько килограммов сосисок съели Базилио и Алиса вместе

Чтобы найти общее количество съеденных сосисок, сложим массу сосисок, которую съел кот Базилио, и массу сосисок, которую съела лиса Алиса.

$ \frac{9}{20} + \frac{12}{20} = \frac{9+12}{20} = \frac{21}{20} $ (кг)

Полученная дробь $ \frac{21}{20} $ — неправильная. Преобразуем ее в смешанное число, выделив целую часть:

$ \frac{21}{20} = 1 \frac{1}{20} $ (кг)

Ответ: вместе Базилио и Алиса съели $ 1 \frac{1}{20} $ кг сосисок.

886. Решите уравнение:

1) $ \frac{52}{63} - \frac{x}{63} = \frac{25}{63} $

2) $ \left(x - \frac{21}{31}\right) + \frac{14}{31} = \frac{25}{31} $

1) Дано уравнение: $\frac{52}{63} - \frac{x}{63} = \frac{25}{63}$.

Поскольку знаменатели всех дробей в уравнении одинаковы (равны 63), мы можем работать только с числителями. Уравнение можно переписать так:

$52 - x = 25$

В данном уравнении $x$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого ($52$) вычесть разность ($25$).

$x = 52 - 25$

$x = 27$

Проверим полученный результат, подставив его в исходное уравнение:

$\frac{52}{63} - \frac{27}{63} = \frac{52 - 27}{63} = \frac{25}{63}$

$\frac{25}{63} = \frac{25}{63}$

Равенство верно, значит, корень уравнения найден правильно.

Ответ: $27$

2) Дано уравнение: $(x - \frac{21}{31}) + \frac{14}{31} = \frac{25}{31}$.

В этом уравнении выражение в скобках $(x - \frac{21}{31})$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы ($\frac{25}{31}$) вычесть известное слагаемое ($\frac{14}{31}$).

$x - \frac{21}{31} = \frac{25}{31} - \frac{14}{31}$

Выполним вычитание дробей в правой части уравнения:

$x - \frac{21}{31} = \frac{25 - 14}{31}$

$x - \frac{21}{31} = \frac{11}{31}$

Теперь $x$ — это неизвестное уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности ($\frac{11}{31}$) прибавить вычитаемое ($\frac{21}{31}$).

$x = \frac{11}{31} + \frac{21}{31}$

Выполним сложение дробей:

$x = \frac{11 + 21}{31}$

$x = \frac{32}{31}$

Это неправильная дробь, ее можно представить в виде смешанного числа:

$x = 1\frac{1}{31}$

Проверим результат:

$(1\frac{1}{31} - \frac{21}{31}) + \frac{14}{31} = (\frac{32}{31} - \frac{21}{31}) + \frac{14}{31} = \frac{11}{31} + \frac{14}{31} = \frac{25}{31}$

$\frac{25}{31} = \frac{25}{31}$

Равенство верно, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $\frac{32}{31}$ или $1\frac{1}{31}$

887. Решите уравнение:

1) $ \frac{x}{72} - \frac{13}{72} = \frac{29}{72} $;

2) $ \frac{29}{43} - \left(m + \frac{13}{43}\right) = \frac{5}{43} $.

1)

Дано уравнение: $\frac{x}{72} - \frac{13}{72} = \frac{29}{72}$.

В левой части уравнения находится разность дробей с одинаковым знаменателем. Мы можем объединить их в одну дробь:

$\frac{x - 13}{72} = \frac{29}{72}$

Поскольку знаменатели в обеих частях уравнения равны, то и числители должны быть равны:

$x - 13 = 29$

В данном уравнении $x$ является уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое:

$x = 29 + 13$

$x = 42$

Проверка:

$\frac{42}{72} - \frac{13}{72} = \frac{42 - 13}{72} = \frac{29}{72}$

$\frac{29}{72} = \frac{29}{72}$

Равенство верно.

Ответ: $42$.

2)

Дано уравнение: $\frac{29}{43} - (m + \frac{13}{43}) = \frac{5}{43}$.

В этом уравнении выражение в скобках $(m + \frac{13}{43})$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого ($\frac{29}{43}$) вычесть разность ($\frac{5}{43}$):

$m + \frac{13}{43} = \frac{29}{43} - \frac{5}{43}$

Выполним вычитание в правой части:

$m + \frac{13}{43} = \frac{29 - 5}{43}$

$m + \frac{13}{43} = \frac{24}{43}$

Теперь $m$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы ($\frac{24}{43}$) вычесть известное слагаемое ($\frac{13}{43}$):

$m = \frac{24}{43} - \frac{13}{43}$

$m = \frac{24 - 13}{43}$

$m = \frac{11}{43}$

Проверка:

$\frac{29}{43} - (\frac{11}{43} + \frac{13}{43}) = \frac{29}{43} - \frac{11 + 13}{43} = \frac{29}{43} - \frac{24}{43} = \frac{29 - 24}{43} = \frac{5}{43}$

$\frac{5}{43} = \frac{5}{43}$

Равенство верно.

Ответ: $\frac{11}{43}$.

888. Три тракториста вместе вспахали поле. Бригадир записал, что один из них вспахал $ \frac{5}{13} $ поля, второй — $ \frac{4}{13} $, а третий — $ \frac{6}{13} $. Не ошибся ли бригадир?

Чтобы определить, ошибся ли бригадир, нужно сложить доли поля, которые вспахал каждый из трех трактористов. Если они вместе вспахали одно целое поле, то сумма этих долей должна быть равна 1.

Вычислим общую часть вспаханного поля:

Сложим дроби, указанные бригадиром:

$\frac{5}{13} + \frac{4}{13} + \frac{6}{13} = \frac{5+4+6}{13} = \frac{15}{13}$

Сравним результат с целым полем:

Все поле представляет собой единицу, или, в данном случае, $\frac{13}{13}$.

Сравним полученную сумму с единицей:

$\frac{15}{13} > \frac{13}{13}$, так как $15 > 13$.

Это означает, что, согласно записям бригадира, трактористы вспахали больше, чем одно поле ($\frac{15}{13} = 1\frac{2}{13}$ поля). Это противоречит условию задачи, по которому они вместе вспахали одно поле. Следовательно, бригадир допустил ошибку.

Ответ: Да, бригадир ошибся.

889. Фермер решил выделить под морковь $\frac{3}{20}$ огорода, под свёклу $\frac{4}{20}$, под лук $\frac{6}{20}$, под горох $\frac{2}{20}$, под картофель $\frac{7}{20}$. Сможет ли он реализовать свой план?

Для того чтобы определить, сможет ли фермер реализовать свой план, нужно сложить все части огорода, которые он планирует выделить под различные культуры. Если полученная сумма будет меньше или равна 1 (весь огород), то план осуществим. Весь огород можно представить в виде дроби $ \frac{20}{20} $.

Найдем сумму всех частей, которые фермер хочет занять под посадки:
$ \frac{3}{20} $ (под морковь) + $ \frac{4}{20} $ (под свёклу) + $ \frac{6}{20} $ (под лук) + $ \frac{2}{20} $ (под горох) + $ \frac{7}{20} $ (под картофель).

Так как знаменатели у всех дробей одинаковые, сложим их числители:
$ \frac{3 + 4 + 6 + 2 + 7}{20} = \frac{22}{20} $

Теперь сравним полученную сумму с размером всего огорода, который равен $ \frac{20}{20} $:
$ \frac{22}{20} > \frac{20}{20} $

Поскольку сумма частей ($ \frac{22}{20} $) больше, чем весь огород ($ \frac{20}{20} $), фермеру не хватит земли для реализации своего плана.
Ответ: нет, не сможет.

890. За 200 г вафель заплатили 38 р., а за 300 г печенья — 54 р. Что дороже, 1 кг вафель или 1 кг печенья, и на сколько рублей?

Чтобы определить, что дороже и на сколько, необходимо вычислить цену за 1 килограмм для каждого продукта.

1. Вычислим стоимость 1 кг вафель.

Известно, что 200 г вафель стоят 38 рублей. В одном килограмме 1000 граммов. Найдем, сколько порций по 200 г содержится в 1 кг:

$1000 \text{ г} \div 200 \text{ г} = 5$

Следовательно, стоимость 1 кг вафель будет в 5 раз больше, чем стоимость 200 г:

$38 \text{ р.} \times 5 = 190 \text{ р.}$

2. Вычислим стоимость 1 кг печенья.

Известно, что 300 г печенья стоят 54 рубля. Для удобства сначала найдем цену за 100 г, разделив общую стоимость на 3:

$54 \text{ р.} \div 3 = 18 \text{ р.}$

Так как в 1 кг (1000 г) содержится 10 порций по 100 г, то стоимость 1 кг печенья равна:

$18 \text{ р.} \times 10 = 180 \text{ р.}$

3. Сравним цены и найдем разницу.

Стоимость 1 кг вафель — 190 рублей, а 1 кг печенья — 180 рублей.

$190 \text{ р.} > 180 \text{ р.}$

Это означает, что вафли дороже. Чтобы найти, на сколько они дороже, вычтем из большей цены меньшую:

$190 \text{ р.} - 180 \text{ р.} = 10 \text{ р.}$

Ответ: 1 кг вафель дороже 1 кг печенья на 10 рублей.

891. Найдите все натуральные числа, при делении которых на 7 неполное частное будет равно остатку.

Пусть $a$ – искомое натуральное число. При делении числа $a$ на 7 с остатком, мы получаем неполное частное $q$ и остаток $r$. Это можно записать в виде формулы деления с остатком:

$a = 7q + r$

По определению, остаток $r$ должен быть целым неотрицательным числом, которое строго меньше делителя. В данном случае, делитель равен 7, следовательно:

$0 \le r < 7$

Это означает, что остаток $r$ может принимать одно из следующих целых значений: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Согласно условию задачи, неполное частное равно остатку, то есть:

$q = r$

Подставим это равенство в исходную формулу:

$a = 7r + r$

$a = 8r$

Поскольку мы ищем натуральные числа $a$, то $a$ должно быть больше нуля ($a > 0$). Из равенства $a = 8r$ следует, что $r$ также должно быть больше нуля ($r > 0$), так как $r=0$ дало бы $a=0$, а 0 не является натуральным числом.

Таким образом, возможные значения для $r$ (а значит и для $q$) это: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Теперь найдем все искомые числа $a$, подставляя в формулу $a=8r$ все возможные значения $r$:

При r = 1: $a = 8 \cdot 1 = 8$.

При r = 2: $a = 8 \cdot 2 = 16$.

При r = 3: $a = 8 \cdot 3 = 24$.

При r = 4: $a = 8 \cdot 4 = 32$.

При r = 5: $a = 8 \cdot 5 = 40$.

При r = 6: $a = 8 \cdot 6 = 48$.

Мы нашли все натуральные числа, которые удовлетворяют заданному условию.

Ответ: 8, 16, 24, 32, 40, 48.

892. В коробке лежат 4 белых, 5 чёрных и 6 красных шаров. Какое наименьшее количество шаров надо вынуть из коробки, чтобы среди них обязательно оказались:

1) 3 шара одного цвета;
Для решения этой задачи рассмотрим наихудший сценарий. Чтобы гарантированно вынуть 3 шара одного цвета, нужно предположить, что нам сначала будут попадаться шары разных цветов в количестве, меньшем трёх. В самом неблагоприятном случае мы можем вынуть по 2 шара каждого цвета: 2 белых, 2 чёрных и 2 красных. На данный момент мы вынули $2 + 2 + 2 = 6$ шаров, и у нас всё ещё нет трёх шаров одного цвета. Однако следующий, седьмой, шар, который мы вынем, обязательно будет либо белым (и у нас станет 3 белых), либо чёрным (станет 3 чёрных), либо красным (станет 3 красных). Таким образом, чтобы гарантированно получить 3 шара одного цвета, нужно вынуть 7 шаров.
Расчет: $2 (белых) + 2 (чёрных) + 2 (красных) + 1 = 7$.
Ответ: 7

2) шары всех трёх цветов?
Здесь также необходимо рассмотреть наихудший сценарий. Чтобы как можно дольше не получать шары всех трёх цветов, мы должны сначала вынуть все шары самых многочисленных цветов. В коробке 6 красных и 5 чёрных шаров. В худшем случае мы сначала вынем все 6 красных шаров, а затем все 5 чёрных шаров. К этому моменту мы вытащили $6 + 5 = 11$ шаров, и среди них только красные и чёрные. Следующий, двенадцатый, шар, который мы вынем, обязательно будет белым, так как в коробке остались только белые шары. Таким образом, чтобы гарантированно иметь шары всех трёх цветов, нужно вынуть 12 шаров.
Расчет: $6 (красных) + 5 (чёрных) + 1 = 12$.
Ответ: 12