Страница 198 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

861. Начертите координатный луч, единичный отрезок которого равен 4 см. Отметьте на нём точки, соответствующие дробям: $ \frac{1}{8} $, $ \frac{3}{8} $, $ \frac{8}{8} $, $ \frac{9}{8} $, $ \frac{12}{8} $, $ \frac{14}{8} $.

Начертите координатный луч, единичный отрезок которого равен 4 см.

Для построения координатного луча выполним следующие шаги:

1. Начертим горизонтальный луч, начинающийся в точке, которую примем за начало отсчета (координата 0).
2. С помощью линейки отложим от точки 0 отрезок длиной 4 см и отметим его конец. Эта точка будет соответствовать числу 1. Отрезок [0, 1] является единичным.
3. Так как все дроби в задании имеют знаменатель 8, для удобства разделим единичный отрезок на 8 равных частей. Найдем длину каждой такой части, которая будет соответствовать $ \frac{1}{8} $ единичного отрезка:
   $ 4 \text{ см} \div 8 = 0.5 \text{ см} $

Отметьте на нём точки, соответствующие дробям: $ \frac{1}{8}, \frac{3}{8}, \frac{8}{8}, \frac{9}{8}, \frac{12}{8}, \frac{14}{8} $.

Зная, что длина отрезка, соответствующего $ \frac{1}{8} $, равна 0.5 см, найдем положение каждой точки на луче. Для этого нужно отложить от начала отсчета (точки 0) расстояние, равное произведению числителя дроби на 0.5 см:

• Точка $ \frac{1}{8} $: откладываем $ 1 \times 0.5 \text{ см} = 0.5 \text{ см} $ от точки 0.
• Точка $ \frac{3}{8} $: откладываем $ 3 \times 0.5 \text{ см} = 1.5 \text{ см} $ от точки 0.
• Точка $ \frac{8}{8} $: откладываем $ 8 \times 0.5 \text{ см} = 4 \text{ см} $ от точки 0. Эта точка совпадает с точкой 1.
• Точка $ \frac{9}{8} $: откладываем $ 9 \times 0.5 \text{ см} = 4.5 \text{ см} $ от точки 0.
• Точка $ \frac{12}{8} $: откладываем $ 12 \times 0.5 \text{ см} = 6 \text{ см} $ от точки 0.
• Точка $ \frac{14}{8} $: откладываем $ 14 \times 0.5 \text{ см} = 7 \text{ см} $ от точки 0.

Ответ:

Ниже изображен координатный луч, построенный согласно расчетам. На нем отмечены точки, соответствующие заданным дробям.

862. Найдите все натуральные значения $x$, при которых дробь $\frac{x}{9}$ будет правильной.

По определению, правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. В данной задаче нам дана дробь $ \frac{x}{9} $, где $x$ — числитель, а 9 — знаменатель.

Для того чтобы дробь $ \frac{x}{9} $ была правильной, должно выполняться неравенство: $ x < 9 $.

Также в условии сказано, что $x$ — это натуральное число. Натуральные числа — это числа, которые используются при счете предметов: 1, 2, 3, 4 и так далее.

Следовательно, нам необходимо найти все натуральные числа, которые меньше 9. Перечислим их: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

863. Найдите все натуральные значения $x$, при которых дробь $\frac{x}{15}$ будет правильной.

Дробь называется правильной, если её числитель меньше её знаменателя. В данном случае у нас есть дробь $\frac{x}{15}$.

Для того чтобы эта дробь была правильной, должно выполняться условие: числитель $x$ должен быть меньше знаменателя 15. Математически это записывается как неравенство:

$x < 15$

По условию задачи, $x$ должен быть натуральным числом. Натуральные числа — это числа, которые используются при счёте предметов: 1, 2, 3, 4, ... и так далее.

Таким образом, нам необходимо найти все натуральные числа, которые меньше 15. Это все целые числа от 1 до 14 включительно.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.

864. Найдите все натуральные значения $x$, при которых дробь $\frac{6}{x}$ будет неправильной.

По определению, дробь является неправильной, если её числитель больше или равен её знаменателю. В данном случае дана дробь $\frac{6}{x}$.

Чтобы эта дробь была неправильной, числитель (6) должен быть больше или равен знаменателю ($x$). Это можно записать в виде неравенства: $6 \ge x$, или, что то же самое, $x \le 6$.

В условии задачи также указано, что $x$ — натуральное число. Натуральными числами являются целые положительные числа, то есть 1, 2, 3, 4, и так далее.

Таким образом, нам необходимо найти все натуральные числа, которые удовлетворяют неравенству $x \le 6$. Перечислим их: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

При любом натуральном значении $x$, большем 6, дробь $\frac{6}{x}$ будет правильной, так как её числитель будет меньше знаменателя.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

865. Найдите все натуральные значения $x$, при которых дробь $\frac{13}{x}$ будет неправильной.

Дробь называется неправильной, если ее числитель больше или равен ее знаменателю. В данном случае числитель равен 13, а знаменатель равен $x$.

Следовательно, чтобы дробь $\frac{13}{x}$ была неправильной, должно выполняться условие:

$13 \geq x$ или $x \leq 13$.

По условию задачи, $x$ должен принимать натуральные значения. Натуральные числа – это целые положительные числа, начиная с 1.

Таким образом, нам нужно найти все натуральные числа, которые меньше или равны 13.

Это числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.

866. Найдите все натуральные значения x, при которых выполняется неравенство:

1) $ \frac{x}{14} < \frac{9}{14}; $

2) $ \frac{4}{7} < \frac{x}{7} < \frac{10}{7}; $

3) $ \frac{5}{x} > 1; $

4) $ \frac{9}{16} < \frac{9}{x}. $

1) Дано неравенство $\frac{x}{14} < \frac{9}{14}$. При сравнении дробей с одинаковыми положительными знаменателями, меньше та дробь, у которой меньше числитель. Следовательно, должно выполняться условие $x < 9$. Поскольку по условию $x$ — натуральное число, то оно может принимать значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

2) Дано двойное неравенство $\frac{4}{7} < \frac{x}{7} < \frac{10}{7}$. Так как знаменатели всех дробей равны и положительны, это неравенство равносильно неравенству для числителей: $4 < x < 10$. Натуральные значения $x$, которые удовлетворяют этому условию, — это все целые числа, которые больше 4 и меньше 10.
Ответ: 5, 6, 7, 8, 9.

3) Дано неравенство $\frac{5}{x} > 1$. Так как $x$ — натуральное число, то $x > 0$. Умножим обе части неравенства на $x$. Знак неравенства при этом не изменится: $5 > x$, или $x < 5$. Натуральные значения $x$, удовлетворяющие этому условию, — это 1, 2, 3, 4.
Ответ: 1, 2, 3, 4.

4) Дано неравенство $\frac{9}{16} < \frac{9}{x}$. При сравнении дробей с одинаковыми положительными числителями, меньше та дробь, у которой больше знаменатель. Следовательно, знаменатель левой дроби должен быть больше знаменателя правой: $16 > x$, или $x < 16$. Поскольку $x$ — натуральное число, оно может принимать любые целые значения от 1 до 15 включительно.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.

867. Найдите все натуральные значения x, при которых выполняется неравенство:

1) $ \frac{7}{17} > \frac{x}{17} $;

2) $ \frac{11}{16} < \frac{x}{16} < \frac{21}{16} $;

3) $ \frac{x}{6} < 1 $;

4) $ \frac{12}{x} > \frac{12}{11} $.

1)

В неравенстве $\frac{7}{17} > \frac{x}{17}$ сравниваются две дроби с одинаковыми знаменателями. Из двух дробей с одинаковыми положительными знаменателями больше та, у которой числитель больше. Следовательно, должно выполняться неравенство для числителей: $x < 7$.

По условию, $x$ — натуральное число. Натуральными числами, которые меньше 7, являются 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

2)

В двойном неравенстве $\frac{11}{16} < \frac{x}{16} < \frac{21}{16}$ все дроби имеют одинаковый знаменатель. Поэтому для выполнения неравенства числитель $x$ должен быть заключен между числителями крайних дробей: $11 < x < 21$.

Натуральные числа, которые больше 11 и меньше 21: 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

Ответ: 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

3)

Для решения неравенства $\frac{x}{6} < 1$ представим 1 в виде дроби со знаменателем 6: $1 = \frac{6}{6}$. Неравенство примет вид $\frac{x}{6} < \frac{6}{6}$. Поскольку знаменатели дробей равны, для выполнения неравенства числитель левой дроби должен быть меньше числителя правой: $x < 6$.

Натуральные значения $x$, которые меньше 6: 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5.

4)

В неравенстве $\frac{12}{x} > \frac{12}{11}$ сравниваются дроби с одинаковыми числителями. Из двух дробей с одинаковыми положительными числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $x$ - натуральное число, оно положительно ($x > 0$). Следовательно, для выполнения неравенства должно выполняться условие $x < 11$.

Натуральные числа, которые меньше 11: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

868. Какие цифры можно поставить вместо звёздочки, чтобы:

1) дробь $ \frac{4*6}{476} $ была неправильной;

2) дробь $ \frac{584}{5*6} $ была правильной?

1) Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Чтобы дробь $\frac{4*6}{476}$ была неправильной, должно выполняться неравенство: $4*6 \ge 476$.
Сравниваем числа $4*6$ и $476$. У них одинаковое количество сотен (по 4). Чтобы первое число было больше или равно второму, цифра в разряде десятков первого числа (на месте звёздочки) должна быть больше или равна цифре в разряде десятков второго числа, то есть 7.
Таким образом, вместо звёздочки можно поставить цифры 7, 8 или 9.
Проверим:
Если $* = 7$, то $\frac{476}{476}$. $476 \ge 476$ (верно).
Если $* = 8$, то $\frac{486}{476}$. $486 \ge 476$ (верно).
Если $* = 9$, то $\frac{496}{476}$. $496 \ge 476$ (верно).
Ответ: 7, 8, 9.

2) Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Чтобы дробь $\frac{584}{5*6}$ была правильной, должно выполняться неравенство: $584 < 5*6$.
Сравниваем числа $584$ и $5*6$. У них одинаковое количество сотен (по 5). Чтобы второе число было больше первого, его цифра в разряде десятков (на месте звёздочки) должна быть больше цифры в разряде десятков первого числа (8), либо, если они равны, цифра в разряде единиц второго числа должна быть больше цифры в разряде единиц первого числа.
Рассмотрим возможные случаи:
1. Цифра на месте звёздочки больше 8. Это может быть только цифра 9. Получаем $584 < 596$. Неравенство верное.
2. Цифра на месте звёздочки равна 8. Получаем $584 < 586$. Неравенство верное, так как $4 < 6$.
3. Цифра на месте звёздочки меньше 8. Например, 7. Получаем $584 < 576$. Неравенство неверное.
Таким образом, вместо звёздочки можно поставить цифры 8 или 9.
Ответ: 8, 9.

869. Найдите все натуральные значения b, при которых дробь $\frac{3b+2}{16}$ будет правильной.

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. В данном случае числитель равен $3b + 2$, а знаменатель равен 16.

Чтобы дробь $\frac{3b + 2}{16}$ была правильной, должно выполняться неравенство:

$3b + 2 < 16$

Для решения этого неравенства сначала вычтем 2 из обеих его частей:

$3b < 16 - 2$

$3b < 14$

Теперь разделим обе части неравенства на 3:

$b < \frac{14}{3}$

Чтобы было удобнее найти натуральные значения $b$, представим дробь $\frac{14}{3}$ в виде смешанного числа:

$b < 4\frac{2}{3}$

В задаче требуется найти все натуральные значения $b$. Натуральные числа — это числа, используемые при счете: 1, 2, 3, 4, и так далее.

Нам нужно найти все натуральные числа, которые меньше $4\frac{2}{3}$. Такими числами являются: 1, 2, 3, 4.

Ответ: 1, 2, 3, 4.

870. Найдите все натуральные значения b, при которых дробь $ \frac{42}{10 + 4b} $ будет неправильной.

Дробь считается неправильной, если ее числитель больше или равен знаменателю. При этом знаменатель не должен быть равен нулю.

В задаче дана дробь $\frac{42}{10 + 4b}$.

Чтобы эта дробь была неправильной, должно выполняться неравенство:$42 \ge 10 + 4b$

По условию, $b$ — натуральное число, то есть $b$ может принимать значения 1, 2, 3, и так далее. При любом натуральном $b$ знаменатель $10 + 4b$ будет положительным числом, то есть не будет равен нулю.

Решим неравенство относительно $b$:

$42 - 10 \ge 4b$

$32 \ge 4b$

Разделим обе части неравенства на 4:

$\frac{32}{4} \ge b$

$8 \ge b$

Это неравенство можно записать как $b \le 8$.

Таким образом, нам нужно найти все натуральные числа $b$, которые меньше или равны 8.

Перечислим эти числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

871. Найдите все натуральные значения a, при которых:

1) обе дроби $\frac{a}{12}$ и $\frac{7}{a}$ будут правильными;

2) дробь $\frac{3}{a}$ будет правильной, а дробь $\frac{6}{a}$ — неправильной.

1) обе дроби $ \frac{a}{12} $ и $ \frac{7}{a} $ будут правильными;

По условию, $a$ — это натуральное число. Дробь является правильной, если ее числитель меньше знаменателя.

Чтобы дробь $ \frac{a}{12} $ была правильной, должно выполняться условие $a < 12$. Так как $a$ — натуральное число, то $a$ может принимать значения от 1 до 11.

Чтобы дробь $ \frac{7}{a} $ была правильной, должно выполняться условие $7 < a$.

Нам необходимо найти все натуральные значения $a$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно: $a < 12$ и $7 < a$. Запишем это в виде двойного неравенства:
$ 7 < a < 12 $.

Этому неравенству удовлетворяют следующие натуральные числа: 8, 9, 10, 11.

Ответ: 8, 9, 10, 11.

2) дробь $ \frac{3}{a} $ будет правильной, а дробь $ \frac{6}{a} $ — неправильной.

Дробь $ \frac{3}{a} $ будет правильной, если ее числитель меньше знаменателя. Это значит, что должно выполняться неравенство:
$ 3 < a $.

Дробь является неправильной, если ее числитель больше или равен знаменателю. Следовательно, для дроби $ \frac{6}{a} $ должно выполняться условие:
$ 6 \geq a $, что равносильно $ a \leq 6 $.

Теперь объединим оба условия для натурального числа $a$: $3 < a$ и $a \leq 6$. Запишем это в виде двойного неравенства:
$ 3 < a \leq 6 $.

Этому неравенству удовлетворяют следующие натуральные числа: 4, 5, 6.

Ответ: 4, 5, 6.