Страница 191 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

845. На рисунке 210 изображён квадрат $ABCD$. Какая часть квадрата закрашена?

Рис. 210

а
B C
A D
Закрашенная часть: $3/8$

б
B C
A D
Закрашенная часть: $4/8$

а) Квадрат ABCD разделен на 4 равных малых квадрата. Каждый из этих малых квадратов, в свою очередь, разделен диагональю на 2 равных треугольника. Таким образом, весь большой квадрат ABCD состоит из $4 \times 2 = 8$ равных треугольников. В квадрате на рисунке "а" закрашено 3 таких треугольника. Следовательно, закрашенная часть составляет $\frac{3}{8}$ от площади всего квадрата.
Ответ: $\frac{3}{8}$.

б) Аналогично первому случаю, квадрат ABCD разделен на 8 равных треугольников. В квадрате на рисунке "б" закрашено 4 таких треугольника. Следовательно, закрашенная часть составляет $\frac{4}{8}$ от площади всего квадрата. Эту дробь можно сократить: $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

846. Масса бочки с водой равна 60 кг. Когда из бочки вылили четвертую часть воды, то масса бочки с оставшейся водой составила 50 кг. Какова масса пустой бочки?

Для решения этой задачи можно использовать логический подход или составить систему уравнений. Рассмотрим оба способа.

Способ 1: Арифметический

1. Найдем массу воды, которую вылили из бочки. Для этого вычтем из начальной массы (бочка с полной водой) конечную массу (бочка с оставшейся водой):
$60 - 50 = 10$ кг.

2. По условию, масса вылитой воды (10 кг) составляет четвертую часть ($\frac{1}{4}$) всей воды, которая была в бочке. Следовательно, мы можем найти массу всей воды, умножив массу вылитой части на 4:
$10 \times 4 = 40$ кг.

3. Теперь мы знаем, что масса всей воды в полной бочке равна 40 кг. Чтобы найти массу пустой бочки, нужно из общей массы бочки с водой (60 кг) вычесть массу воды (40 кг):
$60 - 40 = 20$ кг.

Способ 2: Алгебраический (с помощью уравнений)

Пусть $x$ – масса пустой бочки (в кг), а $y$ – масса всей воды в бочке (в кг).

1. Масса бочки с водой равна 60 кг. Составим первое уравнение:
$x + y = 60$

2. Из бочки вылили четверть воды ($\frac{1}{4}y$). Значит, в бочке осталось $y - \frac{1}{4}y = \frac{3}{4}y$ воды. Масса бочки с оставшейся водой стала 50 кг. Составим второе уравнение:
$x + \frac{3}{4}y = 50$

Получили систему из двух уравнений:
$\begin{cases} x + y = 60 \\ x + \frac{3}{4}y = 50 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти $y$:
$(x + y) - (x + \frac{3}{4}y) = 60 - 50$
$y - \frac{3}{4}y = 10$
$\frac{1}{4}y = 10$
$y = 10 \times 4$
$y = 40$ кг (масса всей воды).

Теперь подставим значение $y$ в первое уравнение, чтобы найти $x$ (массу бочки):
$x + 40 = 60$
$x = 60 - 40$
$x = 20$ кг.

Ответ: 20 кг.

847. Решите уравнение:

1) $9x - 4x + 39 = 94;$

2) $7y + 2y - 34 = 83.$

1) $9x - 4x + 39 = 94$

Сначала упростим левую часть уравнения, приведя подобные слагаемые (члены с переменной $x$):

$(9 - 4)x + 39 = 94$

$5x + 39 = 94$

Далее, перенесем свободный член (число $39$) из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный:

$5x = 94 - 39$

$5x = 55$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 5:

$x = \frac{55}{5}$

$x = 11$

Ответ: 11

2) $7y + 2y - 34 = 83$

Сначала приведем подобные слагаемые в левой части уравнения (члены с переменной $y$):

$(7 + 2)y - 34 = 83$

$9y - 34 = 83$

Теперь перенесем свободный член (число $-34$) из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:

$9y = 83 + 34$

$9y = 117$

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $y$, то есть на 9:

$y = \frac{117}{9}$

$y = 13$

Ответ: 13

848. С двух яблонь садовник собрал 65 кг яблок, причём с одной яблони он собрал на 17 кг меньше, чем со второй. Сколько килограммов яблок он собрал с каждой яблони?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть со второй яблони садовник собрал $x$ кг яблок. Поскольку с первой яблони он собрал на 17 кг меньше, то урожай с первой яблони составляет $(x - 17)$ кг.

Суммарный урожай с двух яблонь равен 65 кг. Мы можем составить уравнение, сложив урожай с каждой яблони:

$(x - 17) + x = 65$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$.

Сначала упростим левую часть уравнения:

$2x - 17 = 65$

Перенесем 17 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$2x = 65 + 17$

$2x = 82$

Теперь разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$:

$x = 82 / 2$

$x = 41$

Таким образом, со второй яблони было собрано 41 кг яблок.

Теперь найдем, сколько яблок было собрано с первой яблони:

$x - 17 = 41 - 17 = 24$ кг.

Проверим наше решение: $41 + 24 = 65$ кг, что соответствует общему собранному весу. Разница между урожаями составляет $41 - 24 = 17$ кг, что также соответствует условию задачи.

Ответ: с одной яблони садовник собрал 24 кг яблок, а со второй — 41 кг.

849. К пяти разным замкам есть пять ключей, причём неизвестно, какой ключ к какому замку подходит. Барон Мюнхгаузен утверждает, что можно не более чем за десять попыток подобрать ключ к каждому замку. Прав ли барон Мюнхгаузен?

Решение

Для решения этой задачи необходимо рассмотреть наихудший сценарий, чтобы определить максимальное количество попыток, которое может потребоваться.

1. Первый замок: Берем первый замок и начинаем подбирать к нему ключи. В худшем случае первые 4 ключа не подойдут. После 4 неудачных попыток мы будем точно знать, что оставшийся пятый ключ подходит к этому замку (проверять его уже не нужно). Таким образом, для первого замка потребуется не более 4 попыток.

2. Второй замок: Теперь у нас осталось 4 замка и 4 ключа. Действуем по той же логике. Для второго замка в худшем случае придется испробовать 3 ключа. Если они не подойдут, то четвертый оставшийся ключ будет верным. Максимальное количество попыток — 3.

3. Третий замок: У нас осталось 3 замка и 3 ключа. Максимальное число попыток, чтобы найти нужный ключ, — 2.

4. Четвертый замок: Осталось 2 замка и 2 ключа. Достаточно проверить 1 ключ. Если он не подойдет, то второй ключ — верный. Максимум — 1 попытка.

5. Пятый замок: К этому моменту останется 1 замок и 1 ключ. Очевидно, что этот ключ подходит к этому замку, и никаких проверок не требуется. Количество попыток — 0.

Теперь сложим максимальное количество попыток для каждого замка, чтобы найти общее максимальное количество попыток: $4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 10$

Таким образом, максимальное количество попыток, которое может понадобиться, чтобы подобрать все ключи к замкам, равно 10. Утверждение барона Мюнхгаузена, что можно справиться не более чем за 10 попыток, является верным.

Ответ: Да, барон Мюнхгаузен прав.