Страница 189 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

831. Запишите дробью, какая часть фигуры, изображённой на рисунке 206, закрашена.

Рис. 206

а

$ \frac{1}{2} $

б

$ \frac{3}{8} $

в

$ \frac{5}{6} $

г

$ \frac{1}{8} $

а) Круг разделен на 2 равные части, из которых закрашена одна. Следовательно, закрашенная часть составляет $\frac{1}{2}$ всей фигуры.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) Круг разделен на 8 равных секторов. Закрашено 3 сектора. Таким образом, закрашенная часть составляет $\frac{3}{8}$ всей фигуры.
Ответ: $\frac{3}{8}$.

в) Прямоугольник разделен на 6 равных маленьких прямоугольников. Закрашено 5 из них. Значит, закрашенная часть составляет $\frac{5}{6}$ всей фигуры.
Ответ: $\frac{5}{6}$.

г) Квадрат разделен диагоналями на 4 равных треугольника. Каждый из этих треугольников составляет $\frac{1}{4}$ площади квадрата. Один из этих треугольников разделен еще на две равные части, и одна из них закрашена. Таким образом, закрашенная часть составляет половину от одной четвертой, то есть $\frac{1}{2}$ от $\frac{1}{4}$. Чтобы найти эту долю, нужно перемножить дроби: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$.

832. Перерисуйте фигуру, изображённую на рисунке 207, в тетрадь и закрасьте соответствующую часть фигуры.

Рис. 207

а
$ \frac{1}{3} $

б
$ \frac{3}{5} $

в
$ \frac{7}{15} $

г
$ \frac{5}{24} $

а) Дробь $ \frac{1}{3} $ показывает, что целое было разделено на 3 равные части (знаменатель) и из них взята 1 часть (числитель). Фигура на рисунке 'а' представляет собой прямоугольник, разделенный на 3 равные горизонтальные полосы. Чтобы закрасить $ \frac{1}{3} $ этой фигуры, нужно закрасить одну любую из этих трех полос.

Ответ:

б) Дробь $ \frac{3}{5} $ показывает, что целое было разделено на 5 равных частей (знаменатель) и из них взято 3 части (числитель). Фигура на рисунке 'б' — это прямоугольник, разделенный на 5 равных вертикальных полос. Чтобы закрасить $ \frac{3}{5} $ этой фигуры, необходимо закрасить любые три из этих пяти полос.

Ответ:

в) Дробь $ \frac{7}{15} $ показывает, что целое было разделено на 15 равных частей и из них взято 7 частей. Фигура на рисунке 'в' — это прямоугольник, разделенный на сетку из 3 строк и 5 столбцов, что в сумме составляет $ 3 \times 5 = 15 $ равных маленьких квадратов. Чтобы закрасить $ \frac{7}{15} $ фигуры, нужно закрасить любые 7 из этих 15 квадратов.

Ответ:

г) Дробь $ \frac{5}{24} $ показывает, что целое было разделено на 24 равные части и из них взято 5 частей. Фигура на рисунке 'г' — это прямоугольник, разделенный на сетку из 4 строк и 6 столбцов, что в сумме составляет $ 4 \times 6 = 24 $ равных маленьких квадратов. Чтобы закрасить $ \frac{5}{24} $ фигуры, нужно закрасить любые 5 из этих 24 квадратов.

Ответ:

833. Выразите:

1) в метрах: 1 см; 24 см; 1 дм; 7 дм; 1 мм; 4 мм; 39 мм;

2) в часах: 1 мин; 7 мин; 39 мин; 1 с; 4 с; 58 с.

1) Чтобы выразить данные величины в метрах, необходимо использовать следующие соотношения:

• 1 метр (м) = 100 сантиметров (см)
• 1 метр (м) = 10 дециметров (дм)
• 1 метр (м) = 1000 миллиметров (мм)

Это означает, что для перевода сантиметров в метры нужно разделить значение на 100, дециметров — на 10, а миллиметров — на 1000.

Перевод сантиметров в метры:

$1 \text{ см} = \frac{1}{100} \text{ м} = 0,01 \text{ м}$

$24 \text{ см} = \frac{24}{100} \text{ м} = 0,24 \text{ м}$

Перевод дециметров в метры:

$1 \text{ дм} = \frac{1}{10} \text{ м} = 0,1 \text{ м}$

$7 \text{ дм} = \frac{7}{10} \text{ м} = 0,7 \text{ м}$

Перевод миллиметров в метры:

$1 \text{ мм} = \frac{1}{1000} \text{ м} = 0,001 \text{ м}$

$4 \text{ мм} = \frac{4}{1000} \text{ м} = 0,004 \text{ м}$

$39 \text{ мм} = \frac{39}{1000} \text{ м} = 0,039 \text{ м}$

Ответ: 1 см = 0,01 м; 24 см = 0,24 м; 1 дм = 0,1 м; 7 дм = 0,7 м; 1 мм = 0,001 м; 4 мм = 0,004 м; 39 мм = 0,039 м.

2) Чтобы выразить данные величины в часах, необходимо использовать следующие соотношения:

• 1 час (ч) = 60 минут (мин)
• 1 час (ч) = 3600 секунд (с) (так как $60 \text{ мин} \times 60 \text{ с/мин} = 3600 \text{ с}$)

Это означает, что для перевода минут в часы нужно разделить значение на 60, а секунд — на 3600.

Перевод минут в часы:

$1 \text{ мин} = \frac{1}{60} \text{ ч}$

$7 \text{ мин} = \frac{7}{60} \text{ ч}$

$39 \text{ мин} = \frac{39}{60} \text{ ч}$. Эту дробь можно сократить на 3: $\frac{39 \div 3}{60 \div 3} = \frac{13}{20} \text{ ч}$.

Перевод секунд в часы:

$1 \text{ с} = \frac{1}{3600} \text{ ч}$

$4 \text{ с} = \frac{4}{3600} \text{ ч}$. Эту дробь можно сократить на 4: $\frac{4 \div 4}{3600 \div 4} = \frac{1}{900} \text{ ч}$.

$58 \text{ с} = \frac{58}{3600} \text{ ч}$. Эту дробь можно сократить на 2: $\frac{58 \div 2}{3600 \div 2} = \frac{29}{1800} \text{ ч}$.

Ответ: 1 мин = $\frac{1}{60}$ ч; 7 мин = $\frac{7}{60}$ ч; 39 мин = $\frac{13}{20}$ ч; 1 с = $\frac{1}{3600}$ ч; 4 с = $\frac{1}{900}$ ч; 58 с = $\frac{29}{1800}$ ч.

334. Выразите в тоннах: $1 \text{ кг}$; $327 \text{ кг}$; $58 \text{ кг}$; $1 \text{ ц}$; $3 \text{ ц}$.

Чтобы выразить заданные величины в тоннах, необходимо знать следующие соотношения:

• 1 тонна (т) = 1000 килограммов (кг)
• 1 центнер (ц) = 100 килограммов (кг)

Из этих соотношений следует, что для перевода килограммов в тонны, нужно разделить их количество на 1000. Для перевода центнеров в тонны, можно сначала перевести их в килограммы (умножить на 100), а затем разделить на 1000, либо сразу разделить на 10 ($1 \text{ т} = 10 \text{ ц}$).

1 кг

Для перевода 1 кг в тонны, разделим 1 на 1000:

$1 \text{ кг} = \frac{1}{1000} \text{ т} = 0,001 \text{ т}$

Ответ: 0,001 т

327 кг

Для перевода 327 кг в тонны, разделим 327 на 1000:

$327 \text{ кг} = \frac{327}{1000} \text{ т} = 0,327 \text{ т}$

Ответ: 0,327 т

58 кг

Для перевода 58 кг в тонны, разделим 58 на 1000:

$58 \text{ кг} = \frac{58}{1000} \text{ т} = 0,058 \text{ т}$

Ответ: 0,058 т

1 ц

Сначала переведем центнеры в килограммы: $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$. Затем переведем килограммы в тонны:

$100 \text{ кг} = \frac{100}{1000} \text{ т} = 0,1 \text{ т}$

Ответ: 0,1 т

3 ц

Сначала переведем центнеры в килограммы: $3 \text{ ц} = 3 \times 100 \text{ кг} = 300 \text{ кг}$. Затем переведем килограммы в тонны:

$300 \text{ кг} = \frac{300}{1000} \text{ т} = 0,3 \text{ т}$

Ответ: 0,3 т

835. Труба наполняет бассейн водой за 9 ч. Какая часть бассейна будет наполнена через:

1) 1 ч;

2) 2 ч;

3) 8 ч после открытия трубы, если сначала бассейн был пустым?

По условию задачи, труба наполняет весь бассейн за 9 часов. Примем объем всего бассейна за 1.
Тогда скорость (производительность) наполнения бассейна $V$ составляет:
$V = \frac{1 \text{ (бассейн)}}{9 \text{ (часов)}} = \frac{1}{9}$ части бассейна в час.

Теперь, зная скорость наполнения, мы можем рассчитать, какая часть бассейна будет заполнена за определенное время, умножив скорость на время.

1) 1 ч
За 1 час труба наполнит:
$\frac{1}{9} \times 1 = \frac{1}{9}$ часть бассейна.
Ответ: $\frac{1}{9}$

2) 2 ч
За 2 часа труба наполнит:
$\frac{1}{9} \times 2 = \frac{2}{9}$ части бассейна.
Ответ: $\frac{2}{9}$

3) 8 ч
За 8 часов труба наполнит:
$\frac{1}{9} \times 8 = \frac{8}{9}$ частей бассейна.
Ответ: $\frac{8}{9}$

836. Автомобиль преодолевает расстояние между двумя городами за 7 ч.

Какую часть пути между городами он проедет за 1 ч? за 3 ч? за 6 ч?

Чтобы определить, какую часть пути проедет автомобиль за определённое время, сначала найдём, какую часть пути он проезжает за 1 час. Весь путь примем за 1 (одну целую).

Поскольку автомобиль преодолевает весь путь за 7 часов, то за 1 час он проедет $\frac{1}{7}$ всего пути. Это можно рассматривать как скорость автомобиля, выраженную в долях пути в час: $v = \frac{1}{7}$ пути/час.

Теперь, зная эту величину, мы можем ответить на поставленные вопросы.

за 1 ч?
Как мы уже определили, за 1 час автомобиль проедет $\frac{1}{7}$ всего пути.
Расчёт: $1 \text{ ч} \cdot \frac{1}{7} \text{ пути/час} = \frac{1}{7}$ пути.
Ответ: $\frac{1}{7}$.

за 3 ч?
Чтобы найти, какую часть пути автомобиль проедет за 3 часа, нужно часть пути, преодолеваемую за 1 час, умножить на 3.
Расчёт: $3 \text{ ч} \cdot \frac{1}{7} \text{ пути/час} = \frac{3}{7}$ пути.
Ответ: $\frac{3}{7}$.

за 6 ч?
Аналогично, чтобы найти, какую часть пути автомобиль проедет за 6 часов, нужно часть пути, преодолеваемую за 1 час, умножить на 6.
Расчёт: $6 \text{ ч} \cdot \frac{1}{7} \text{ пути/час} = \frac{6}{7}$ пути.
Ответ: $\frac{6}{7}$.

837. В саду росло 56 деревьев, из них 23 — яблони. Какую часть деревьев составляли яблони?

Чтобы найти, какую часть от общего количества деревьев составляют яблони, нужно записать отношение количества яблонь к общему количеству деревьев в виде дроби.

Общее количество деревьев (целое) — 56. Это будет знаменатель дроби.

Количество яблонь (часть целого) — 23. Это будет числитель дроби.

Таким образом, яблони составляют $\frac{23}{56}$ часть от всех деревьев.

Проверим, является ли эта дробь сократимой. Число 23 — простое, оно делится только на 1 и на само себя. Число 56 на 23 не делится, следовательно, дробь $\frac{23}{56}$ сократить нельзя.

Ответ: $\frac{23}{56}$

838. На клумбе растут 32 тюльпана, из них 7 тюльпанов жёлтого цвета.
Какую часть всех тюльпанов составляют тюльпаны жёлтого цвета?

Чтобы определить, какую часть от общего количества тюльпанов составляют тюльпаны жёлтого цвета, нужно составить дробь. В числителе этой дроби будет количество интересующих нас тюльпанов (жёлтых), а в знаменателе — общее количество всех тюльпанов.
Всего тюльпанов на клумбе: 32.
Тюльпанов жёлтого цвета: 7.
Составляем дробь, подставляя данные значения:
$ \frac{\text{количество жёлтых тюльпанов}}{\text{общее количество тюльпанов}} = \frac{7}{32} $
Данная дробь является несократимой, поскольку у числителя 7 и знаменателя 32 нет общих делителей, кроме 1.
Таким образом, жёлтые тюльпаны составляют $ \frac{7}{32} $ часть от всех тюльпанов на клумбе.
Ответ: $ \frac{7}{32} $