Страница 182 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Рис. 200

а

б

811. Найдите объём фигуры, изображённой на рисунке 200, а (размеры даны в сантиметрах).

а

Чтобы найти объем данной фигуры, можно вычислить объем большого прямоугольного параллелепипеда, из которого как бы вырезали меньший параллелепипед, и затем вычесть объем вырезанной части.

1. Найдем объем большого прямоугольного параллелепипеда ($V_1$). Его измерения: длина $a_1 = 30$ см, ширина $b_1 = 20$ см, высота $h_1 = 25$ см.

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

$V = a \cdot b \cdot h$

$V_1 = 30 \cdot 20 \cdot 25 = 600 \cdot 25 = 15000$ см³.

2. Найдем объем вырезанной части ($V_2$), которая также является прямоугольным параллелепипедом. Его измерения: длина $a_2 = 15$ см, ширина $b_2 = 20$ см, высота $h_2 = 5$ см.

$V_2 = 15 \cdot 20 \cdot 5 = 300 \cdot 5 = 1500$ см³.

3. Найдем объем фигуры ($V$), вычитая из объема большого параллелепипеда объем вырезанной части.

$V = V_1 - V_2 = 15000 - 1500 = 13500$ см³.

Ответ: $13500$ см³.

812. Найдите объём фигуры, изображённой на рисунке 200, б (размеры даны в сантиметрах).

$V = (12 \cdot 8 \cdot 14) + (8 \cdot 8 \cdot 6) + (8 \cdot 8 \cdot 8) + (15 \cdot 8 \cdot 14)$

Для нахождения объёма фигуры, её можно мысленно разделить на две части — два прямоугольных параллелепипеда.

1. Большой нижний параллелепипед.
Найдём его размеры по рисунку:

• Длина основания равна сумме длин трёх отрезков: $a_1 = 12 + 8 + 15 = 35$ см.
• Ширина основания (глубина фигуры) видна по размерам центральной части и равна $b_1 = 8$ см.
• Высота этого параллелепипеда равна $c_1 = 14$ см.

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \times b \times c$.
Вычислим объём нижней части ($V_1$):
$V_1 = 35 \times 8 \times 14 = 280 \times 14 = 3920$ см³.

2. Малый верхний параллелепипед.
Это куб, который стоит на центральной части основания. Его размеры:

• Длина: $a_2 = 8$ см.
• Ширина: $b_2 = 8$ см.
• Высота: $c_2 = 8$ см.

Вычислим объём верхней части ($V_2$):
$V_2 = 8 \times 8 \times 8 = 64 \times 8 = 512$ см³.

3. Общий объём фигуры.
Общий объём фигуры ($V$) равен сумме объёмов двух её частей:
$V = V_1 + V_2 = 3920 + 512 = 4432$ см³.

Ответ: 4432 см³.

813. Резервуар для воды имеет форму прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 6 м, 4 м и 5 м. Сколько тонн воды вмещает этот резервуар, если масса 1 л воды составляет 1 кг?

Для решения этой задачи нужно выполнить несколько шагов: сначала найти объем резервуара, а затем, зная объем, вычислить массу воды, которую он может вместить.

1. Найдем объем резервуара.
Резервуар имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Объем прямоугольного параллелепипеда ($V$) вычисляется как произведение его трех измерений (длины, ширины и высоты):
$V = a \cdot b \cdot c$
В нашем случае измерения равны 6 м, 4 м и 5 м.
$V = 6 \text{ м} \cdot 4 \text{ м} \cdot 5 \text{ м} = 120 \text{ м}^3$
Таким образом, объем резервуара составляет 120 кубических метров.

2. Переведем объем в литры.
Нам известно, что 1 кубический метр ($1 \text{ м}^3$) равен 1000 литрам (л).
$1 \text{ м}^3 = 1000 \text{ л}$
Следовательно, чтобы найти объем резервуара в литрах, нужно умножить его объем в кубических метрах на 1000:
$120 \text{ м}^3 \cdot 1000 = 120000 \text{ л}$

3. Найдем массу воды в килограммах.
По условию, масса 1 литра воды составляет 1 кг. Значит, масса 120000 литров воды будет равна 120000 кг.

4. Переведем массу в тонны.
В одной тонне (т) содержится 1000 килограммов (кг).
$1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$
Чтобы перевести массу из килограммов в тонны, нужно разделить ее на 1000:
$120000 \text{ кг} : 1000 = 120 \text{ т}$

Ответ: 120 тонн.

814. Сколько литров воды можно налить в резервуар, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 1 м 40 см, 50 см и 1 м 20 см?

Чтобы найти, сколько литров воды можно налить в резервуар, нужно вычислить его объем. Резервуар имеет форму прямоугольного параллелепипеда, объем которого вычисляется по формуле:

$V = a \cdot b \cdot c$

где $a$, $b$ и $c$ – его измерения (длина, ширина и высота).

Для удобства вычислений переведем все измерения в одну единицу, например, в дециметры (дм), так как 1 литр равен 1 кубическому дециметру ($1 \text{ л} = 1 \text{ дм}^3$).

Вспомним, что $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$ и $10 \text{ см} = 1 \text{ дм}$.

1. Переведем первое измерение: $1 \text{ м } 40 \text{ см} = 10 \text{ дм} + 4 \text{ дм} = 14 \text{ дм}$.

2. Переведем второе измерение: $50 \text{ см} = 5 \text{ дм}$.

3. Переведем третье измерение: $1 \text{ м } 20 \text{ см} = 10 \text{ дм} + 2 \text{ дм} = 12 \text{ дм}$.

Теперь вычислим объем резервуара в кубических дециметрах:

$V = 14 \text{ дм} \cdot 5 \text{ дм} \cdot 12 \text{ дм} = 70 \text{ дм}^2 \cdot 12 \text{ дм} = 840 \text{ дм}^3$.

Так как $1 \text{ дм}^3$ вмещает $1$ литр воды, то объем резервуара в литрах равен его объему в кубических дециметрах.

$840 \text{ дм}^3 = 840 \text{ л}$.

Ответ: в резервуар можно налить 840 литров воды.

815. Гном Знайка сконструировал землеройную машину, которая за 8 ч может вырыть траншею, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда длиной 150 м, глубиной 80 см и шириной 60 см.

Сколько кубометров земли выкапывает эта машина за 1 ч?

Работу скольких гномов выполняет эта машина, если за 8 ч один гном может выкопать 240 $дм^3$ земли?

Для решения задачи необходимо ответить на два вопроса. Решим их по порядку.

1. Сначала найдем общий объем траншеи, которую машина выкапывает за 8 часов. Траншея имеет форму прямоугольного параллелепипеда, объем которого вычисляется по формуле $V = l \cdot w \cdot h$, где $l$ – длина, $w$ – ширина, $h$ – глубина.

2. Приведем все размеры к единой единице измерения – метрам, так как производительность нужно найти в кубических метрах в час.

• Длина: $l = 150$ м
• Глубина: $h = 80 \text{ см} = 0,8$ м (поскольку $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$)
• Ширина: $w = 60 \text{ см} = 0,6$ м

3. Теперь вычислим общий объем выкопанной земли в кубических метрах:

$V = 150 \text{ м} \cdot 0,6 \text{ м} \cdot 0,8 \text{ м} = 72 \text{ м}^3$

4. Этот объем ($72 \text{ м}^3$) машина выкапывает за 8 часов. Чтобы найти ее производительность за 1 час, разделим общий объем на время работы:

$72 \text{ м}^3 \div 8 \text{ ч} = 9 \text{ м}^3/\text{ч}$

Ответ: за 1 час машина выкапывает 9 м³ земли.

1. Из первого пункта мы знаем, что за 8 часов машина выкапывает $72 \text{ м}^3$ земли.

2. По условию, за то же самое время (8 часов) один гном выкапывает $240 \text{ дм}^3$ земли.

3. Чтобы сравнить их производительность, переведем объемы в одинаковые единицы измерения. Удобнее перевести объем работы гнома в кубические метры. Вспомним соотношение:

$1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$

$1 \text{ м}^3 = (10 \text{ дм})^3 = 1000 \text{ дм}^3$

Теперь переведем объем работы гнома:

$240 \text{ дм}^3 = 240 \div 1000 \text{ м}^3 = 0,24 \text{ м}^3$

4. Итак, за 8 часов машина выполняет работу объемом $72 \text{ м}^3$, а один гном – $0,24 \text{ м}^3$. Чтобы узнать, работу скольких гномов выполняет машина, разделим объем работы машины на объем работы одного гнома за одинаковый промежуток времени:

$N = \frac{V_{\text{машины}}}{V_{\text{гнома}}} = \frac{72 \text{ м}^3}{0,24 \text{ м}^3} = 300$

Ответ: машина выполняет работу 300 гномов.

816. Куб и прямоугольный параллелепипед имеют равные объемы. Найдите площадь поверхности куба, если длина прямоугольного параллелепипеда равна 12 см, что в 2 раза больше ширины и в 4 раза больше высоты параллелепипеда.

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Найдем размеры прямоугольного параллелепипеда.

Из условия известно, что длина прямоугольного параллелепипеда равна $12$ см.

Длина в 2 раза больше ширины, следовательно, чтобы найти ширину, нужно длину разделить на 2:
Ширина = $12 \text{ см} \div 2 = 6 \text{ см}$.

Длина в 4 раза больше высоты, следовательно, чтобы найти высоту, нужно длину разделить на 4:
Высота = $12 \text{ см} \div 4 = 3 \text{ см}$.

2. Вычислим объём прямоугольного параллелепипеда.

Объём прямоугольного параллелепипеда ($V_{п}$) равен произведению его длины, ширины и высоты.
$V_{п} = \text{длина} \times \text{ширина} \times \text{высота}$
$V_{п} = 12 \text{ см} \times 6 \text{ см} \times 3 \text{ см} = 72 \text{ см}^2 \times 3 \text{ см} = 216 \text{ см}^3$.

3. Найдем длину ребра куба.

По условию, объём куба ($V_{к}$) равен объёму прямоугольного параллелепипеда, значит, $V_{к} = 216 \text{ см}^3$.

Объём куба вычисляется по формуле $V_{к} = a^3$, где $a$ – длина ребра куба. Чтобы найти ребро куба, нужно извлечь кубический корень из его объёма.
$a^3 = 216 \text{ см}^3$
$a = \sqrt[3]{216} \text{ см} = 6 \text{ см}$, так как $6 \times 6 \times 6 = 216$.

4. Найдем площадь поверхности куба.

Площадь поверхности куба ($S_{к}$) равна сумме площадей шести его граней. Каждая грань является квадратом со стороной, равной ребру куба. Площадь одной грани равна $a^2$.
Формула площади поверхности куба: $S_{к} = 6 \cdot a^2$.
$S_{к} = 6 \cdot (6 \text{ см})^2 = 6 \cdot 36 \text{ см}^2 = 216 \text{ см}^2$.

Ответ: площадь поверхности куба равна $216 \text{ см}^2$.