Страница 175 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

778. Найдите сумму длин всех рёбер и площадь поверхности куба, если его ребро равно 7 см.

Для решения задачи нам дано, что ребро куба $a$ равно 7 см.

Сумма длин всех рёбер

Куб имеет 12 рёбер, и все они равны по длине. Чтобы найти сумму длин всех рёбер, необходимо умножить количество рёбер на длину одного ребра.
Обозначим сумму длин всех рёбер как $L$.
Формула для вычисления: $L = 12 \cdot a$.
Подставим известное значение длины ребра $a = 7$ см:
$L = 12 \cdot 7 = 84$ см.
Ответ: 84 см.

Площадь поверхности куба

Поверхность куба состоит из 6 одинаковых граней, каждая из которых является квадратом со стороной, равной ребру куба.
Площадь одной такой грани ($S_{грани}$) вычисляется по формуле: $S_{грани} = a^2$.
$S_{грани} = 7^2 = 49$ см$^2$.
Общая площадь поверхности куба ($S_{пов}$) равна сумме площадей всех шести граней.
Формула для вычисления: $S_{пов} = 6 \cdot S_{грани} = 6 \cdot a^2$.
Подставим наши значения:
$S_{пов} = 6 \cdot 49 = 294$ см$^2$.
Ответ: 294 см$^2$.

779. На рисунке 193 изображена развёртка прямоугольного параллелепипеда.

Рис. 193

1) Из скольких прямоугольников состоит развёртка?

2) Сколько пар равных прямоугольников содержит развёртка?

3) Какова площадь этой развёртки, если измерения параллелепипеда равны 10 см, 7 см и 3 см?

1) Из скольких прямоугольников состоит развёртка?

Развёртка прямоугольного параллелепипеда представляет собой его шесть граней, разложенных на плоскости. Если посчитать количество прямоугольников на рисунке, мы увидим четыре прямоугольника в ряд и по одному сверху и снизу. Всего получается 6 прямоугольников.

Ответ: Развёртка состоит из 6 прямоугольников.

2) Сколько пар равных прямоугольников содержит развёртка?

Прямоугольный параллелепипед имеет три пары равных противолежащих граней: верхняя и нижняя, передняя и задняя, левая и правая. Следовательно, его развёртка содержит 3 пары равных прямоугольников.

Ответ: Развёртка содержит 3 пары равных прямоугольников.

3) Какова площадь этой развёртки, если измерения параллелепипеда равны 10 см, 7 см и 3 см?

Площадь развёртки равна площади полной поверхности прямоугольного параллелепипеда. Обозначим измерения параллелепипеда как $a=10$ см, $b=7$ см и $c=3$ см. Площадь полной поверхности ($S$) вычисляется по формуле, которая суммирует площади всех шести граней (трёх пар равных прямоугольников):

$S = 2(ab + ac + bc)$

Подставим данные значения в формулу:

$S = 2 \cdot (10 \cdot 7 + 10 \cdot 3 + 7 \cdot 3)$

Сначала выполним умножение в скобках:

$S = 2 \cdot (70 + 30 + 21)$

Затем сложим полученные значения:

$S = 2 \cdot 121$

Теперь умножим на 2:

$S = 242 \text{ см}^2$

Таким образом, площадь развёртки равна 242 квадратным сантиметрам.

Ответ: $242 \text{ см}^2$.

780. Изготовьте из бумаги модель прямоугольного параллелепипеда, используя развёртку, изображённую на рисунке 194. Вычислите площадь поверхности этого параллелепипеда.

Рис. 194

8 см

12 см

15 см

Для вычисления площади поверхности прямоугольного параллелепипеда необходимо сначала определить его три измерения (длину, ширину и высоту) по данным на развёртке.

Из рисунка 194 видно, что измерениями параллелепипеда являются длины 15 см, 12 см и 8 см. Обозначим их следующим образом:

• Длина $a = 15$ см
• Ширина $b = 8$ см
• Высота $c = 12$ см

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда ($S$) равна сумме площадей всех его шести граней. Формула для её вычисления:

$S = 2 \cdot (ab + ac + bc)$

Подставим значения длины, ширины и высоты в эту формулу:

$S = 2 \cdot (15 \cdot 8 + 15 \cdot 12 + 8 \cdot 12)$

Теперь последовательно выполним вычисления:

1. Вычислим площади трёх различных граней:

• $ab = 15 \cdot 8 = 120$ см²
• $ac = 15 \cdot 12 = 180$ см²
• $bc = 8 \cdot 12 = 96$ см²

2. Сложим полученные площади:

$120 + 180 + 96 = 396$ см²

3. Умножим результат на 2, так как у параллелепипеда по две одинаковые грани:

$S = 2 \cdot 396 = 792$ см²

Таким образом, площадь поверхности этого параллелепипеда составляет 792 квадратных сантиметра.

Ответ: 792 см².