Страница 168 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

755. Расход эмалевой краски на однослойное покрытие составляет 180 г на $1 м^2$. Хватит ли 3 кг эмали, чтобы покрасить стену длиной 6 м и высотой 3 м?

Для того чтобы определить, хватит ли краски, необходимо сначала рассчитать площадь окрашиваемой поверхности, а затем — необходимое для этой площади количество краски.

1. Найдём площадь стены. Стена имеет форму прямоугольника, площадь которого вычисляется как произведение его длины на высоту.

Площадь стены (S):
$S = \text{длина} \times \text{высота} = 6 \text{ м} \times 3 \text{ м} = 18 \text{ м}^2$

2. Теперь рассчитаем, сколько граммов краски потребуется для покраски стены площадью 18 м². Известно, что расход эмали составляет 180 г на 1 м².

Необходимое количество краски:
$18 \text{ м}^2 \times 180 \frac{\text{г}}{\text{м}^2} = 3240 \text{ г}$

3. В наличии имеется 3 кг эмали. Чтобы сравнить это количество с необходимым, переведём килограммы в граммы. В одном килограмме 1000 граммов.

Имеющееся количество краски:
$3 \text{ кг} = 3 \times 1000 \text{ г} = 3000 \text{ г}$

4. Сравним необходимое количество краски (3240 г) с имеющимся (3000 г).

$3240 \text{ г} > 3000 \text{ г}$

Поскольку для покраски стены требуется 3240 г эмали, а в наличии есть только 3000 г, имеющейся краски не хватит.

Ответ: нет, 3 кг эмали не хватит, чтобы покрасить стену.

756. Квадрат со стороной $12 \text{ см}$ и прямоугольник, длина которого равна $18 \text{ см}$, являются равновеликими. Найдите периметр прямоугольника.

По условию задачи, квадрат и прямоугольник являются равновеликими. Это означает, что их площади равны.

1. Сначала вычислим площадь квадрата. Сторона квадрата, обозначим ее как $a$, равна 12 см. Площадь квадрата ($S_{кв}$) вычисляется по формуле:

$S_{кв} = a^2$

$S_{кв} = 12^2 = 144$ см².

2. Так как площади фигур равны, то площадь прямоугольника ($S_{пр}$) также равна 144 см².

3. Теперь найдем ширину прямоугольника. Длина прямоугольника ($l$) известна и равна 18 см. Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его длины на ширину ($w$):

$S_{пр} = l \cdot w$

Отсюда мы можем найти ширину:

$w = S_{пр} / l = 144 / 18 = 8$ см.

4. Зная длину и ширину прямоугольника, мы можем найти его периметр ($P_{пр}$). Периметр прямоугольника — это сумма длин всех его сторон, которая вычисляется по формуле:

$P_{пр} = 2 \cdot (l + w)$

Подставим значения длины и ширины:

$P_{пр} = 2 \cdot (18 + 8) = 2 \cdot 26 = 52$ см.

Ответ: 52 см.

757. Квадрат и прямоугольник имеют равные площади, соседние стороны прямоугольника равны 3 см и 12 см. Найдите периметр квадрата.

1. Сначала найдем площадь прямоугольника. Площадь прямоугольника ($S_{прям}$) равна произведению его соседних сторон.
Дано, что стороны прямоугольника равны 3 см и 12 см.
$S_{прям} = 3 \, см \cdot 12 \, см = 36 \, см^2$.

2. По условию задачи, площадь квадрата ($S_{кв}$) равна площади прямоугольника.
$S_{кв} = S_{прям} = 36 \, см^2$.

3. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S_{кв} = a^2$, где $a$ – сторона квадрата. Зная площадь, мы можем найти длину стороны квадрата.
$a^2 = 36 \, см^2$
$a = \sqrt{36 \, см^2} = 6 \, см$.

4. Теперь найдем периметр квадрата ($P_{кв}$). Периметр квадрата равен сумме длин всех его сторон, или произведению длины стороны на 4.
$P_{кв} = 4 \cdot a$
$P_{кв} = 4 \cdot 6 \, см = 24 \, см$.

Ответ: 24 см.

758. Ширина прямоугольника равна 26 см. На сколько квадратных сантиметров увеличится площадь этого прямоугольника, если его длину увеличить на 4 см?

Для того чтобы найти, на сколько увеличится площадь прямоугольника, можно рассмотреть изменение площади как добавление нового прямоугольника. Когда мы увеличиваем длину на 4 см, мы, по сути, "присоединяем" к исходному прямоугольнику новый, у которого одна сторона равна ширине исходного прямоугольника (26 см), а другая — величине увеличения длины (4 см).

Также можно решить задачу алгебраически. Обозначим первоначальную длину прямоугольника как $l$, а его ширину как $w$.

По условию, ширина $w = 26$ см.
Первоначальная площадь ($S_1$) вычисляется по формуле:
$S_1 = l \times w = l \times 26$

Длину увеличили на 4 см, поэтому новая длина стала $l + 4$ см.
Новая площадь ($S_2$) с новой длиной будет равна:
$S_2 = (l + 4) \times w = (l + 4) \times 26$

Увеличение площади ($\Delta S$) — это разность между новой и первоначальной площадями:
$\Delta S = S_2 - S_1 = (l + 4) \times 26 - l \times 26$

Раскроем скобки и упростим выражение:
$\Delta S = l \times 26 + 4 \times 26 - l \times 26$
$\Delta S = 4 \times 26$

Теперь выполним вычисление:
$4 \times 26 = 104$

Таким образом, площадь прямоугольника увеличится на 104 квадратных сантиметра.

Ответ: площадь прямоугольника увеличится на 104 см$^2$.

759. Длина прямоугольника равна 32 см. На сколько квадратных сантиметров уменьшится площадь этого прямоугольника, если его ширину уменьшить на 5 см?

Для решения этой задачи нам нужно найти разницу между первоначальной площадью прямоугольника и его площадью после изменения ширины. Однако, знать первоначальную ширину не обязательно.

Уменьшение площади будет равно площади той части прямоугольника, которую "отрезали". Эта часть сама является прямоугольником, у которого одна сторона равна длине исходного прямоугольника, а вторая сторона — величине, на которую уменьшили ширину.

Дано:

• Длина прямоугольника ($l$): 32 см.
• Величина, на которую уменьшили ширину ($\Delta w$): 5 см.

Площадь, на которую уменьшится исходный прямоугольник ($\Delta S$), можно найти, умножив его длину на ту величину, на которую уменьшилась его ширина:

$\Delta S = l \times \Delta w$

Подставим известные значения в формулу:

$\Delta S = 32 \text{ см} \times 5 \text{ см} = 160 \text{ см}²$

Таким образом, площадь прямоугольника уменьшится на 160 квадратных сантиметров.

Ответ: на 160 см².

760. Во сколько раз увеличатся периметр и площадь прямоугольника, если каждую его сторону увеличить в 4 раза?

Пусть первоначальные стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Периметр
Первоначальный периметр прямоугольника ($P_1$) вычисляется по формуле: $P_1 = 2(a + b)$.
После увеличения каждой стороны в 4 раза, новые стороны будут равны $4a$ и $4b$.
Новый периметр ($P_2$) будет равен: $P_2 = 2(4a + 4b) = 2 \cdot 4(a + b) = 8(a + b)$.
Чтобы найти, во сколько раз увеличился периметр, найдём отношение нового периметра к первоначальному:
$\frac{P_2}{P_1} = \frac{8(a + b)}{2(a + b)} = 4$.
Таким образом, периметр увеличится в 4 раза.
Ответ: Периметр увеличится в 4 раза.

Площадь
Первоначальная площадь прямоугольника ($S_1$) вычисляется по формуле: $S_1 = a \cdot b$.
С новыми сторонами $4a$ и $4b$ новая площадь ($S_2$) будет равна: $S_2 = (4a) \cdot (4b) = 16 \cdot a \cdot b = 16ab$.
Чтобы найти, во сколько раз увеличилась площадь, найдём отношение новой площади к первоначальной:
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{16ab}{ab} = 16$.
Таким образом, площадь увеличится в 16 раз.
Ответ: Площадь увеличится в 16 раз.

761. Во сколько раз уменьшатся периметр и площадь квадрата, если каждую его сторону уменьшить в 3 раза?

Пусть сторона исходного квадрата равна $a$. Тогда его периметр $P_1$ и площадь $S_1$ вычисляются по формулам:

$P_1 = 4a$

$S_1 = a^2$

Согласно условию, сторону квадрата уменьшили в 3 раза. Новая сторона $a_2$ будет равна:

$a_2 = \frac{a}{3}$

Теперь вычислим новый периметр $P_2$ и новую площадь $S_2$ и сравним их с исходными.

Периметр

Периметр нового квадрата $P_2$ со стороной $a_2$ равен:

$P_2 = 4 \cdot a_2 = 4 \cdot \frac{a}{3} = \frac{4a}{3}$

Чтобы определить, во сколько раз уменьшился периметр, найдем отношение исходного периметра $P_1$ к новому $P_2$:

$\frac{P_1}{P_2} = \frac{4a}{\frac{4a}{3}} = 4a \cdot \frac{3}{4a} = 3$

Следовательно, периметр уменьшится в 3 раза.

Ответ: в 3 раза.

Площадь

Площадь нового квадрата $S_2$ со стороной $a_2$ равна:

$S_2 = (a_2)^2 = (\frac{a}{3})^2 = \frac{a^2}{3^2} = \frac{a^2}{9}$

Чтобы определить, во сколько раз уменьшилась площадь, найдем отношение исходной площади $S_1$ к новой $S_2$:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{a^2}{\frac{a^2}{9}} = a^2 \cdot \frac{9}{a^2} = 9$

Следовательно, площадь уменьшится в 9 раз.

Ответ: в 9 раз.

762. Считая, что длина стороны клетки равна 1 см, найдите площади фигур, изображённых на рисунке 175.

Рис. 175

a

б

в

г

Для нахождения площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге, будем считать, что площадь одной клетки равна $1 \text{ см} \times 1 \text{ см} = 1 \text{ см}^2$.

а

Фигура а представляет собой прямоугольный треугольник. Длины его катетов, определённые по сетке, равны 3 см и 4 см. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$, где $a$ и $b$ — длины катетов.

Подставим значения в формулу:

$S_a = \frac{1}{2} \times 3 \text{ см} \times 4 \text{ см} = \frac{12}{2} \text{ см}^2 = 6 \text{ см}^2$.

Ответ: $6 \text{ см}^2$.

б

Площадь фигуры б можно найти, разбив её на две одинаковые трапеции. Каждая трапеция имеет основания длиной 2 см и 4 см и высоту 1 см. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.

Площадь одной трапеции:

$S_{трап.} = \frac{2+4}{2} \times 1 \text{ см}^2 = 3 \text{ см}^2$.

Так как фигура состоит из двух таких трапеций, её общая площадь равна:

$S_б = 2 \times S_{трап.} = 2 \times 3 \text{ см}^2 = 6 \text{ см}^2$.

Ответ: $6 \text{ см}^2$.

в

Площадь фигуры в удобно найти методом вычитания. Фигура вписана в прямоугольник размером 5 см на 3 см. Площадь этого прямоугольника равна $S_{прямоуг.} = 5 \times 3 = 15 \text{ см}^2$. Теперь вычтем из этой площади площади четырёх угловых областей, не принадлежащих фигуре.

• Площадь верхнего левого треугольника: $S_1 = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = 0.5 \text{ см}^2$.
• Площадь верхнего правого треугольника: $S_2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1 \text{ см}^2$.
• Площадь нижней правой области (состоит из треугольника и трапеции): $S_3 = (\frac{1}{2} \times 1 \times 1) + (\frac{1+2}{2} \times 1) = 0.5 + 1.5 = 2 \text{ см}^2$.
• Площадь нижнего левого треугольника: $S_4 = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = 0.5 \text{ см}^2$.

Суммарная площадь вычитаемых частей: $S_{выч.} = 0.5 + 1 + 2 + 0.5 = 4 \text{ см}^2$.

Площадь фигуры в равна: $S_в = S_{прямоуг.} - S_{выч.} = 15 \text{ см}^2 - 4 \text{ см}^2 = 11 \text{ см}^2$.

Ответ: $11 \text{ см}^2$.

г

Фигура г состоит из двух треугольников, соединённых в одной общей вершине. Найдём площадь каждого треугольника и сложим их.

Левый треугольник имеет вертикальное основание длиной 2 см (2 клетки) и высоту 2 см (горизонтальное расстояние от основания до общей вершины). Его площадь:

$S_1 = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times 2 \text{ см} \times 2 \text{ см} = 2 \text{ см}^2$.

Правый треугольник имеет вертикальное основание длиной 2 см и высоту 3 см. Его площадь:

$S_2 = \frac{1}{2} \times 2 \text{ см} \times 3 \text{ см} = 3 \text{ см}^2$.

Общая площадь фигуры равна сумме площадей этих двух треугольников:

$S_г = S_1 + S_2 = 2 \text{ см}^2 + 3 \text{ см}^2 = 5 \text{ см}^2$.

Ответ: $5 \text{ см}^2$.

763. Считая, что длина стороны клетки равна 1 см, найдите площади фи- гур, изображённых на рисунке 176.

Рис. 176

а

б

в

г

а

Фигура а представляет собой треугольник. Согласно условию, длина стороны клетки равна 1 см. Основание данного треугольника занимает 4 клетки, следовательно, его длина $a = 4$ см. Высота треугольника, проведенная к этому основанию, составляет 3 клетки, то есть $h = 3$ см. Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} a h$.

Подставим значения в формулу:

$S_a = \frac{1}{2} \times 4 \text{ см} \times 3 \text{ см} = 6 \text{ см}^2$.

Ответ: $6 \text{ см}^2$.

б

Фигуру б можно мысленно разделить на три более простые геометрические фигуры: верхний треугольник, средний прямоугольник и нижнюю трапецию.

1. Верхний треугольник имеет основание длиной 4 см и высоту 2 см. Его площадь составляет: $S_1 = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4 \text{ см}^2$.

2. Средний прямоугольник имеет стороны длиной 2 см и 1 см. Его площадь: $S_2 = 2 \times 1 = 2 \text{ см}^2$.

3. Нижняя трапеция имеет параллельные основания длиной 4 см и 2 см, и высоту 1 см. Её площадь вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$: $S_3 = \frac{4+2}{2} \times 1 = 3 \text{ см}^2$.

Общая площадь фигуры б равна сумме площадей её частей:

$S_б = S_1 + S_2 + S_3 = 4 \text{ см}^2 + 2 \text{ см}^2 + 3 \text{ см}^2 = 9 \text{ см}^2$.

Ответ: $9 \text{ см}^2$.

в

Фигуру в можно разбить на несколько трапеций и треугольник, проведя горизонтальные линии через "изломы" контура.

1. Нижняя часть (от высоты 1 до 2) — это трапеция с основаниями 4 см и 2 см и высотой 1 см. Её площадь: $S_1 = \frac{4+2}{2} \times 1 = 3 \text{ см}^2$.

2. Следующая часть (от высоты 2 до 3) — это "перевернутая" трапеция с основаниями 2 см и 4 см и высотой 1 см. Её площадь: $S_2 = \frac{2+4}{2} \times 1 = 3 \text{ см}^2$.

3. Третья часть (от высоты 3 до 4) — это трапеция, идентичная первой, с основаниями 4 см и 2 см и высотой 1 см. Её площадь: $S_3 = \frac{4+2}{2} \times 1 = 3 \text{ см}^2$.

4. Верхняя часть (от высоты 4 до 5) — это треугольник с основанием 2 см и высотой 1 см. Его площадь: $S_4 = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1 \text{ см}^2$.

Общая площадь фигуры в равна сумме площадей этих частей:

$S_в = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = 3 + 3 + 3 + 1 = 10 \text{ см}^2$.

Ответ: $10 \text{ см}^2$.

г

Фигура г представляет собой "песочные часы" и состоит из двух одинаковых треугольников, соприкасающихся вершинами.

1. Верхний треугольник имеет основание длиной 4 см и высоту 2 см. Его площадь: $S_{верх} = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4 \text{ см}^2$.

2. Нижний треугольник полностью идентичен верхнему, его основание также 4 см, а высота 2 см. Его площадь: $S_{низ} = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4 \text{ см}^2$.

Общая площадь фигуры г равна сумме площадей двух этих треугольников:

$S_г = S_{верх} + S_{низ} = 4 \text{ см}^2 + 4 \text{ см}^2 = 8 \text{ см}^2$.

Ответ: $8 \text{ см}^2$.