Страница 167 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

746. Выразите:

12 га; 14 га 68 а; 32 400 $m^2$; 2 $km^2$ 14 га 5 а;

5 а; 63 га; 5 га 72 а;

530 а; 1204 а; 16 300 $m^2$.

1) в арах:

Для перевода в ары (сотки) воспользуемся следующими соотношениями единиц площади:
$1 \text{ га} = 100 \text{ а}$
$1 \text{ а} = 100 \text{ м²}$
$1 \text{ км²} = 100 \text{ га} = 10\ 000 \text{ а}$

• 12 га
$12 \text{ га} = 12 \times 100 \text{ а} = 1200 \text{ а}$
Ответ: 1200 а.

• 14 га 68 а
$14 \text{ га } 68 \text{ а} = 14 \times 100 \text{ а} + 68 \text{ а} = 1400 \text{ а} + 68 \text{ а} = 1468 \text{ а}$
Ответ: 1468 а.

• 32 400 м²
$32\ 400 \text{ м²} = 32\ 400 : 100 \text{ а} = 324 \text{ а}$
Ответ: 324 а.

• 2 км² 14 га 5 а
$2 \text{ км² } 14 \text{ га } 5 \text{ а} = 2 \times 10\ 000 \text{ а} + 14 \times 100 \text{ а} + 5 \text{ а} = 20\ 000 \text{ а} + 1400 \text{ а} + 5 \text{ а} = 21\ 405 \text{ а}$
Ответ: 21 405 а.

2) в квадратных метрах:

Для перевода в квадратные метры воспользуемся следующими соотношениями:
$1 \text{ а} = 100 \text{ м²}$
$1 \text{ га} = 100 \text{ а} = 10\ 000 \text{ м²}$

• 5 а
$5 \text{ а} = 5 \times 100 \text{ м²} = 500 \text{ м²}$
Ответ: 500 м².

• 63 га
$63 \text{ га} = 63 \times 10\ 000 \text{ м²} = 630\ 000 \text{ м²}$
Ответ: 630 000 м².

• 5 га 72 а
$5 \text{ га } 72 \text{ а} = 5 \times 10\ 000 \text{ м²} + 72 \times 100 \text{ м²} = 50\ 000 \text{ м²} + 7200 \text{ м²} = 57\ 200 \text{ м²}$
Ответ: 57 200 м².

3) в гектарах и арах:

Для перевода в гектары и ары воспользуемся следующими соотношениями:
$1 \text{ га} = 100 \text{ а}$
$1 \text{ а} = 100 \text{ м²}$

• 530 а
Чтобы перевести ары в гектары, нужно разделить количество ар на 100. Целая часть от деления будет количеством гектаров, а остаток — количеством ар.
$530 \text{ а} = 500 \text{ а} + 30 \text{ а} = (500 : 100) \text{ га} + 30 \text{ а} = 5 \text{ га } 30 \text{ а}$
Ответ: 5 га 30 а.

• 1204 а
$1204 \text{ а} = 1200 \text{ а} + 4 \text{ а} = (1200 : 100) \text{ га} + 4 \text{ а} = 12 \text{ га } 4 \text{ а}$
Ответ: 12 га 4 а.

• 16 300 м²
Сначала переведем квадратные метры в ары, разделив на 100.
$16\ 300 \text{ м²} = (16\ 300 : 100) \text{ а} = 163 \text{ а}$
Теперь переведем 163 а в гектары и ары.
$163 \text{ а} = 100 \text{ а} + 63 \text{ а} = (100 : 100) \text{ га} + 63 \text{ а} = 1 \text{ га } 63 \text{ а}$
Ответ: 1 га 63 а.

747. Выразите:

1) в квадратных сантиметрах: $16 \text{ дм}^2$; $4 \text{ м}^2$; $16 \text{ м}^2 19 \text{ дм}^2$;

2) в гектарах: $5\,830\,000 \text{ м}^2$; $53 \text{ км}^2$; $5 \text{ км}^2 18 \text{ га}$.

1) в квадратных сантиметрах:

Для перевода заданных величин в квадратные сантиметры (см²) необходимо использовать следующие соотношения:
$1 \text{ дм}^2 = (10 \text{ см})^2 = 100 \text{ см}^2$
$1 \text{ м}^2 = (100 \text{ см})^2 = 10 000 \text{ см}^2$

- $16 \text{ дм}^2 = 16 \times 100 \text{ см}^2 = 1600 \text{ см}^2$.
Ответ: 1600 см².

- $4 \text{ м}^2 = 4 \times 10 000 \text{ см}^2 = 40 000 \text{ см}^2$.
Ответ: 40 000 см².

- $16 \text{ м}^2 19 \text{ дм}^2 = (16 \times 10 000 \text{ см}^2) + (19 \times 100 \text{ см}^2) = 160 000 \text{ см}^2 + 1900 \text{ см}^2 = 161 900 \text{ см}^2$.
Ответ: 161 900 см².

2) в гектарах:

Для перевода заданных величин в гектары (га) необходимо использовать следующие соотношения:
$1 \text{ га} = 10 000 \text{ м}^2$
$1 \text{ км}^2 = (1000 \text{ м})^2 = 1 000 000 \text{ м}^2 = 100 \text{ га}$

- $5 830 000 \text{ м}^2 = 5 830 000 : 10 000 \text{ га} = 583 \text{ га}$.
Ответ: 583 га.

- $53 \text{ км}^2 = 53 \times 100 \text{ га} = 5300 \text{ га}$.
Ответ: 5300 га.

- $5 \text{ км}^2 18 \text{ га} = (5 \times 100 \text{ га}) + 18 \text{ га} = 500 \text{ га} + 18 \text{ га} = 518 \text{ га}$.
Ответ: 518 га.

748. Поле прямоугольной формы имеет площадь 56 а, его длина — 80 м.

Вычислите периметр поля.

Для того чтобы вычислить периметр прямоугольного поля, необходимо знать его длину и ширину. Длина нам известна из условия, а ширину можно найти, используя известную площадь. Решение задачи состоит из трех шагов:

1. Перевод площади в квадратные метры

Площадь поля дана в арах (сокращенно 'а'). Для проведения расчетов с метрами необходимо перевести ары в квадратные метры. Известно, что 1 ар равен 100 квадратным метрам.

$1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$

Площадь поля $S$ составляет 56 а, что в квадратных метрах равно:

$S = 56 \times 100 \text{ м}^2 = 5600 \text{ м}^2$

2. Нахождение ширины поля

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \times b$, где $a$ — длина, а $b$ — ширина. Нам известна площадь $S = 5600 \text{ м}^2$ и длина $a = 80 \text{ м}$. Ширину поля можно найти, разделив площадь на длину:

$b = \frac{S}{a}$

$b = \frac{5600 \text{ м}^2}{80 \text{ м}} = 70 \text{ м}$

Таким образом, ширина поля составляет 70 метров.

3. Вычисление периметра поля

Периметр прямоугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон. Он вычисляется по формуле $P = 2 \times (a + b)$. Подставим известные значения длины и ширины:

$P = 2 \times (80 \text{ м} + 70 \text{ м})$

$P = 2 \times 150 \text{ м}$

$P = 300 \text{ м}$

Ответ: 300 м.

749. Поле прямоугольной формы имеет площадь 48 а, его ширина — 150 м. Вычислите периметр поля.

Для вычисления периметра прямоугольного поля необходимо знать его длину и ширину. Ширина поля известна по условию ($150$ м), а длину можно найти, используя известную площадь.

1. Сначала переведем площадь поля из аров (а) в квадратные метры ($м^2$), чтобы все единицы измерения были согласованы. Известно, что $1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$.

Площадь поля $S$ в квадратных метрах:

$S = 48 \text{ а} = 48 \times 100 \text{ м}^2 = 4800 \text{ м}^2$

2. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \times b$, где $a$ – длина, а $b$ – ширина. Зная площадь и ширину, можем найти длину:

$a = S / b$

Подставим известные значения:

$a = 4800 \text{ м}^2 / 150 \text{ м} = 32 \text{ м}$

Итак, длина поля составляет $32$ м.

3. Теперь, зная длину ($a = 32$ м) и ширину ($b = 150$ м), вычислим периметр поля по формуле $P = 2 \times (a + b)$:

$P = 2 \times (32 \text{ м} + 150 \text{ м}) = 2 \times 182 \text{ м} = 364 \text{ м}$

Ответ: 364 м.

750. Вычислите периметр и площадь многоугольника, изображённого на рисунке 173 (размеры даны в сантиметрах). Есть ли на рисунке 173 лишние данные для нахождения периметра многоугольника?

Рис. 173

a

б

Для фигуры а:

Вычисление периметра. Периметр ($P$) фигуры, которая представляет собой прямоугольник с вырезанным углом, равен периметру исходного (окаймляющего) прямоугольника. Габаритные размеры фигуры: ширина 18 см и высота 15 см.

Формула для расчета периметра:

$P_a = 2 \times (ширина + высота) = 2 \times (18 + 15) = 2 \times 33 = 66$ см.

Ответ: Периметр фигуры а равен 66 см.

Вычисление площади. Площадь ($S$) фигуры можно рассчитать как разность площадей окаймляющего прямоугольника и вырезанного прямоугольника.

Площадь окаймляющего прямоугольника: $S_{большой} = 18 \times 15 = 270$ см².

Площадь вырезанного прямоугольника: $S_{вырез} = 8 \times 5 = 40$ см².

Площадь фигуры а: $S_a = S_{большой} - S_{вырез} = 270 - 40 = 230$ см².

Ответ: Площадь фигуры а равна 230 см².

Для фигуры б:

Вычисление периметра. Периметр ($P$) фигуры с вырезом на боковой стороне равен периметру окаймляющего прямоугольника плюс удвоенная глубина выреза. Габаритные размеры фигуры: ширина 18 см и высота 11 см. Глубина выреза — 6 см.

Формула для расчета периметра:

$P_б = 2 \times (ширина + высота) + 2 \times (глубина \ выреза) = 2 \times (18 + 11) + 2 \times 6 = 58 + 12 = 70$ см.

Ответ: Периметр фигуры б равен 70 см.

Вычисление площади. Площадь ($S$) фигуры можно рассчитать как разность площадей окаймляющего прямоугольника и вырезанного прямоугольника (выреза).

Площадь окаймляющего прямоугольника: $S_{большой} = 18 \times 11 = 198$ см².

Высота выреза определяется из общей высоты: $h_{вырез} = 11 - 4 - 4 = 3$ см.

Площадь выреза: $S_{вырез} = 6 \times 3 = 18$ см².

Площадь фигуры б: $S_б = S_{большой} - S_{вырез} = 198 - 18 = 180$ см².

Ответ: Площадь фигуры б равна 180 см².

Есть ли на рисунке 173 лишние данные для нахождения периметра многоугольника?

Да, для нахождения периметра обеих фигур на рисунке есть лишние данные.

• Для фигуры а периметр ($P_a = 2 \times (18 + 15) = 66$ см) зависит только от габаритных размеров (18 см и 15 см). Размеры вырезанного угла (8 см и 5 см) являются лишними, так как они не изменяют общую длину контура по сравнению с исходным прямоугольником.
• Для фигуры б периметр ($P_б = 2 \times (18 + 11) + 2 \times 6 = 70$ см) зависит от габаритных размеров (18 см и 11 см) и глубины выреза (6 см). Размеры, указывающие на вертикальное положение выреза (два отрезка по 4 см), являются лишними, так как периметр не зависит от того, в каком месте на стороне сделан вырез.

Ответ: Да, есть. Для фигуры а — размеры 8 см и 5 см. Для фигуры б — размеры по 4 см.

751. Вычислите периметр и площадь многоугольника, изображённого на рисунке 174 (размеры даны в сантиметрах).

Рис. 174

$12$

$6$

$4$

$12$

$18$

Периметр

Периметр многоугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон. Длины сторон фигуры следующие: две вертикальные стороны по $18$ см, нижняя горизонтальная сторона, длина которой равна сумме верхних горизонтальных отрезков ($12 + 6 + 12 = 30$ см), и верхний контур, состоящий из пяти отрезков: $12$ см, $4$ см, $6$ см, $4$ см и $12$ см. Суммируем все длины:

$P = 18 + 18 + 30 + 12 + 4 + 6 + 4 + 12 = 104$ см.

Ответ: $104$ см.

Площадь

Площадь многоугольника ($S$) можно вычислить методом дополнения до прямоугольника. Для этого найдем площадь большого прямоугольника, который вмещает в себя всю фигуру, и вычтем из нее площадь вырезанной части (выемки).

Большой прямоугольник имеет высоту $18$ см и ширину $12 + 6 + 12 = 30$ см. Его площадь: $S_{большой} = 18 \times 30 = 540$ см$^2$.

Вырезанная часть (выемка) — это прямоугольник с высотой $4$ см и шириной $6$ см. Его площадь: $S_{выемки} = 4 \times 6 = 24$ см$^2$.

Площадь фигуры равна разности этих площадей:

$S = S_{большой} - S_{выемки} = 540 - 24 = 516$ см$^2$.

В качестве проверки можно использовать другой метод — разбиение фигуры на части. Фигуру можно разбить на три прямоугольника: два боковых размером $12 \times 18$ см и один центральный размером $6 \times (18-4)$ см. Сложив их площади, получим тот же результат: $S = (12 \times 18) \times 2 + 6 \times 14 = 216 \times 2 + 84 = 432 + 84 = 516$ см$^2$.

Ответ: $516$ см$^2$.

752. (Домашняя практическая работа) На клетчатой бумаге нарисуйте какую-нибудь фигуру, состоящую из 12 клеток. Считая, что длина стороны клетки равна $5 \text{ мм}$, найдите площадь фигуры и выразите её в квадратных сантиметрах. Сравните свой результат с результатами одноклассников.

1. Найдём площадь одной клетки в квадратных миллиметрах.
По условию, клетка является квадратом со стороной 5 мм. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ – длина стороны.
$S_{клетки} = 5 \text{ мм} \times 5 \text{ мм} = 25 \text{ мм}^2$.
Ответ: Площадь одной клетки равна $25 \text{ мм}^2$.

2. Найдём площадь всей фигуры в квадратных миллиметрах.
Фигура состоит из 12 таких клеток. Чтобы найти общую площадь, нужно умножить площадь одной клетки на их количество.
$S_{фигуры} = 12 \times S_{клетки} = 12 \times 25 \text{ мм}^2 = 300 \text{ мм}^2$.
Ответ: Площадь фигуры равна $300 \text{ мм}^2$.

3. Выразим площадь фигуры в квадратных сантиметрах.
В одном сантиметре 10 миллиметров ($1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$). Следовательно, в одном квадратном сантиметре содержится $10 \times 10 = 100$ квадратных миллиметров ($1 \text{ см}^2 = 100 \text{ мм}^2$). Чтобы перевести площадь из $\text{мм}^2$ в $\text{см}^2$, нужно разделить значение на 100.
$S_{фигуры} = \frac{300}{100} \text{ см}^2 = 3 \text{ см}^2$.
Ответ: Площадь фигуры равна $3 \text{ см}^2$.

4. Сравнение результата с результатами одноклассников.
Площадь фигуры не зависит от ее формы, а только от количества составляющих ее клеток и площади каждой клетки. Поскольку у всех учеников эти исходные данные (12 клеток, сторона клетки 5 мм) одинаковы, то и итоговая площадь фигуры у всех должна получиться одинаковой.
Ответ: Мой результат должен совпасть с результатами одноклассников, если они решили задачу верно.

753. Хватит ли фермеру Петру Трудолюбу 5 т гороха, чтобы засеять им поле, имеющее форму прямоугольника со сторонами 500 м и 400 м, если на 1 га земли надо высеять 260 кг гороха?

Для того чтобы определить, хватит ли фермеру гороха, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найдём площадь поля в квадратных метрах.

Поле имеет форму прямоугольника со сторонами 500 м и 400 м. Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение его длины и ширины:

$S = 500 \text{ м} \times 400 \text{ м} = 200\;000 \text{ м}^2$

2. Переведём площадь поля в гектары.

Известно, что 1 гектар (га) равен 10 000 м². Чтобы найти площадь поля в гектарах, разделим его площадь в квадратных метрах на 10 000:

$200\;000 \text{ м}^2 \div 10\;000 \text{ м}^2/\text{га} = 20 \text{ га}$

3. Рассчитаем, сколько всего гороха необходимо для посева.

Согласно условию, на 1 гектар земли требуется 260 кг гороха. Чтобы засеять поле площадью 20 га, потребуется:

$20 \text{ га} \times 260 \text{ кг/га} = 5200 \text{ кг}$

4. Сравним необходимое количество гороха с имеющимся.

У фермера в наличии 5 тонн (т) гороха. Переведём эту массу в килограммы, зная, что в 1 тонне 1000 кг:

$5 \text{ т} = 5 \times 1000 \text{ кг} = 5000 \text{ кг}$

Теперь сравним массу гороха, которая требуется для посева (5200 кг), с той, что есть у фермера (5000 кг):

$5000 \text{ кг} < 5200 \text{ кг}$

Таким образом, имеющегося у фермера гороха меньше, чем необходимо для засева всего поля.

Ответ: Нет, фермеру не хватит 5 тонн гороха, так как для засева поля требуется 5200 кг, а у него в наличии только 5000 кг.

754. Отец решил облицевать кафелем стену кухни, длина которой равна $4 \text{ м } 50 \text{ см}$, а высота — $3 \text{ м}$. Хватит ли ему $15$ ящиков кафеля, если одна плитка имеет форму квадрата со стороной $15 \text{ см}$, а в одном ящике находится $40$ плиток?

Для того чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо сначала вычислить, какое количество плиток потребуется для облицовки всей стены. Затем нужно посчитать, сколько всего плиток находится в 15 ящиках, и сравнить эти два значения.

1. Приведение размеров к единой единице измерения.
Переведем все размеры в сантиметры для удобства расчетов.
Длина стены: 4 м 50 см = $4 \times 100 \text{ см} + 50 \text{ см} = 450 \text{ см}$.
Высота стены: 3 м = $3 \times 100 \text{ см} = 300 \text{ см}$.
Сторона одной плитки: 15 см.

2. Расчет необходимого количества плиток.
Поскольку размеры стены кратны размеру стороны плитки, мы можем посчитать, сколько плиток поместится в один ряд по длине и сколько рядов поместится по высоте.
Количество плиток в одном ряду по длине стены:$450 \div 15 = 30$ плиток.
Количество рядов плитки по высоте стены:$300 \div 15 = 20$ рядов.
Общее количество плиток, необходимое для облицовки всей стены, равно произведению количества плиток в ряду на количество рядов:$30 \times 20 = 600$ плиток.

3. Расчет имеющегося количества плиток.
В одном ящике находится 40 плиток. Найдем общее количество плиток в 15 ящиках:$15 \times 40 = 600$ плиток.

4. Сравнение и вывод.
Для облицовки стены требуется 600 плиток. В наличии имеется также 600 плиток. Так как необходимое количество плиток равно имеющемуся ($600 = 600$), то кафеля хватит ровно на всю стену.

Ответ: да, 15 ящиков кафеля хватит.