Страница 165 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

5. Чему равна площадь прямоугольника?

Площадь прямоугольника — это пространство, которое фигура занимает на плоскости. Для вычисления площади прямоугольника необходимо знать две его основные характеристики: длину и ширину.

Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые (равны 90°). Его противоположные стороны попарно равны и параллельны. Стороны прямоугольника, имеющие общую вершину, называются смежными. Обычно большую из смежных сторон называют длиной, а меньшую — шириной.

Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину.

Математически это выражается следующей формулой:
$S = a \cdot b$
где:
$S$ — площадь прямоугольника,
$a$ — длина прямоугольника,
$b$ — ширина прямоугольника.

Пример:
Допустим, у нас есть прямоугольник с длиной $a = 10$ см и шириной $b = 5$ см. Чтобы найти его площадь, мы перемножаем эти значения:
$S = 10 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 50 \text{ см}^2$
Таким образом, площадь этого прямоугольника равна 50 квадратным сантиметрам.

Важно отметить, что единицы измерения длины и ширины должны быть одинаковыми (например, обе в сантиметрах или обе в метрах). Тогда площадь будет измеряться в соответствующих квадратных единицах (квадратных сантиметрах, квадратных метрах и т. д.).

Ответ: Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину.

6. По какой формуле вычисляют площадь квадрата?

Площадь квадрата вычисляют по формуле, которая связывает значение площади с длиной его стороны. Поскольку квадрат является правильным четырехугольником, у которого все стороны и углы равны, его площадь можно найти, умножив длину его стороны саму на себя.

Основная формула через сторону

Самым распространенным способом является вычисление площади через длину стороны. Формула выглядит так:
$S = a \cdot a = a^2$
Здесь:
$S$ – это площадь квадрата.
$a$ – это длина стороны квадрата.

Формула через диагональ

Также площадь квадрата можно вычислить, если известна длина его диагонали. Диагональ ($d$) делит квадрат на два равных прямоугольных треугольника. Используя теорему Пифагора ($a^2 + a^2 = d^2$), можно вывести следующую формулу:
$S = \frac{d^2}{2}$
Здесь:
$S$ – это площадь квадрата.
$d$ – это длина диагонали квадрата.

Ответ: Площадь квадрата вычисляют по формуле $S = a^2$, где $S$ — площадь, а $a$ — длина его стороны.

7. Сколько квадратных метров содержит $1 \text{ ар}$? $1 \text{ гектар}$!

1 ар?

Ар (сокращенное обозначение: а) — это единица измерения площади, равная площади квадрата со стороной 10 метров. В повседневной жизни эту единицу также называют «сотка».

Для вычисления площади в квадратных метрах необходимо перемножить длины сторон этого квадрата:

$1 \text{ ар} = 10 \text{ м} \times 10 \text{ м} = 100 \text{ м}^2$

Таким образом, 1 ар содержит 100 квадратных метров.

Ответ: 100 м².

1 гектар!

Гектар (сокращенное обозначение: га) — это единица измерения площади, равная площади квадрата со стороной 100 метров.

Площадь в квадратных метрах вычисляется как произведение длин сторон:

$1 \text{ га} = 100 \text{ м} \times 100 \text{ м} = 10 000 \text{ м}^2$

Также можно выразить гектар через ары. В одном гектаре содержится 100 ар. Зная, что 1 ар равен 100 м², получаем:

$1 \text{ га} = 100 \text{ ар} = 100 \times 100 \text{ м}^2 = 10 000 \text{ м}^2$

Таким образом, 1 гектар содержит 10 000 квадратных метров.

Ответ: 10 000 м².

1. Сколько сантиметров содержится в: $1 \text{ дм}$; $1 \text{ м } 3 \text{ дм}$; $5 \text{ м } 2 \text{ дм}$; $12 \text{ дм } 5 \text{ см}$; $40 \text{ мм}$?

Для решения этой задачи необходимо знать соотношения между единицами измерения длины: метрами (м), дециметрами (дм), сантиметрами (см) и миллиметрами (мм).

• 1 метр (м) = 100 сантиметров (см)
• 1 дециметр (дм) = 10 сантиметров (см)
• 1 сантиметр (см) = 10 миллиметров (мм)

Используя эти соотношения, переведем каждую величину в сантиметры.

1 дм

Один дециметр содержит 10 сантиметров.
$1 \text{ дм} = 1 \times 10 \text{ см} = 10 \text{ см}$
Ответ: 10 см.

1 м 3 дм

Сначала переведем метры и дециметры в сантиметры по отдельности, а затем сложим результаты.
$1 \text{ м} = 1 \times 100 \text{ см} = 100 \text{ см}$
$3 \text{ дм} = 3 \times 10 \text{ см} = 30 \text{ см}$
$100 \text{ см} + 30 \text{ см} = 130 \text{ см}$
Ответ: 130 см.

5 м 2 дм

Переведем метры и дециметры в сантиметры и сложим их.
$5 \text{ м} = 5 \times 100 \text{ см} = 500 \text{ см}$
$2 \text{ дм} = 2 \times 10 \text{ см} = 20 \text{ см}$
$500 \text{ см} + 20 \text{ см} = 520 \text{ см}$
Ответ: 520 см.

12 дм 5 см

Переведем дециметры в сантиметры и прибавим к ним оставшиеся сантиметры.
$12 \text{ дм} = 12 \times 10 \text{ см} = 120 \text{ см}$
$120 \text{ см} + 5 \text{ см} = 125 \text{ см}$
Ответ: 125 см.

40 мм

Чтобы перевести миллиметры в сантиметры, нужно разделить их количество на 10.
$40 \text{ мм} = \frac{40}{10} \text{ см} = 4 \text{ см}$
Ответ: 4 см.

2. Сколько метров содержится в: $1 \text{ км}$; $2 \text{ км } 418 \text{ м}$; $4 \text{ км } 16 \text{ м}$; $800 \text{ см}$; $20 \text{ дм}$?

1 км
Чтобы перевести километры (км) в метры (м), необходимо знать, что в одном километре содержится тысяча метров.
$1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$.
Следовательно:
$1 \text{ км} = 1 \times 1000 \text{ м} = 1000 \text{ м}$.
Ответ: 1000 м.

2 км 418 м
Для перевода этого значения в метры, сначала переведем километры в метры и затем прибавим к результату оставшиеся метры.
Переводим километры: $2 \text{ км} = 2 \times 1000 \text{ м} = 2000 \text{ м}$.
Добавляем оставшиеся метры: $2000 \text{ м} + 418 \text{ м} = 2418 \text{ м}$.
Ответ: 2418 м.

4 км 16 м
Действуем по аналогии с предыдущим примером. Сначала переводим километры, затем прибавляем метры.
Переводим километры: $4 \text{ км} = 4 \times 1000 \text{ м} = 4000 \text{ м}$.
Добавляем оставшиеся метры: $4000 \text{ м} + 16 \text{ м} = 4016 \text{ м}$.
Ответ: 4016 м.

800 см
Чтобы перевести сантиметры (см) в метры (м), используем соотношение: $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.
Для перевода сантиметров в метры необходимо разделить их количество на 100.
$800 \text{ см} = 800 \div 100 \text{ м} = 8 \text{ м}$.
Ответ: 8 м.

20 дм
Для перевода дециметров (дм) в метры (м) используем соотношение: $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$.
Чтобы перевести дециметры в метры, нужно разделить их количество на 10.
$20 \text{ дм} = 20 \div 10 \text{ м} = 2 \text{ м}$.
Ответ: 2 м.

3. Лодка за 5 ч прошла 40 км. За сколько часов она пройдет с той же скоростью 24 км?

Для решения данной задачи необходимо выполнить два основных шага: сначала найти скорость движения лодки, а затем, зная скорость, вычислить время, которое потребуется для преодоления нового расстояния.

1. Нахождение скорости лодки

Скорость ($v$) вычисляется путем деления расстояния ($s$) на время ($t$). Формула для расчета скорости: $v = s / t$.

Согласно условию, лодка прошла расстояние $s_1 = 40$ км за время $t_1 = 5$ часов. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти скорость:

$v = 40 \text{ км} \div 5 \text{ ч} = 8 \text{ км/ч}$.

Таким образом, скорость лодки составляет 8 километров в час.

2. Нахождение времени для прохождения 24 км

Теперь, используя найденную скорость, мы можем определить время ($t_2$), необходимое для прохождения нового расстояния $s_2 = 24$ км. Лодка движется с той же скоростью, то есть $v = 8$ км/ч. Формула для расчета времени: $t = s / v$.

Подставим известные значения:

$t_2 = 24 \text{ км} \div 8 \text{ км/ч} = 3 \text{ ч}$.

Ответ: 3 часа.

4. Сколько литров воды может перекачать насос за 8 мин, если пять таких насосов за 6 мин перекачивают 450 л воды?

Для того чтобы решить задачу, необходимо сначала найти производительность одного насоса, то есть сколько литров воды он перекачивает за одну минуту.

1. Сначала вычислим, сколько литров воды перекачивают пять насосов за одну минуту. Для этого разделим общий объем воды на время работы:

$450 \text{ л} \div 6 \text{ мин} = 75 \text{ л/мин}$

Таким образом, пять насосов вместе перекачивают 75 литров воды в минуту.

2. Теперь найдем производительность одного насоса. Поскольку все насосы одинаковые, разделим общую производительность на количество насосов:

$75 \text{ л/мин} \div 5 = 15 \text{ л/мин}$

Это означает, что один насос перекачивает 15 литров воды в минуту.

3. Наконец, определим, сколько литров воды может перекачать один насос за 8 минут. Для этого умножим производительность одного насоса на заданное время:

$15 \text{ л/мин} \times 8 \text{ мин} = 120 \text{ л}$

Ответ: 120 литров.

5. Какую одну и ту же цифру нужно поставить вместо звёздочек, чтобы запись $1\textasteriskcentered + 3\textasteriskcentered + 5\textasteriskcentered = 111$ стала верным равенством?

Для решения этой задачи обозначим неизвестную цифру, которую нужно поставить вместо звёздочек, переменной $x$. Поскольку звёздочка стоит в разряде единиц, числа $1*$, $3*$ и $5*$ можно представить в виде следующих алгебраических выражений:

$1* = 10 + x$

$3* = 30 + x$

$5* = 50 + x$

Теперь запишем исходное равенство $1* + 3* + 5* = 111$ в виде уравнения с переменной $x$:

$(10 + x) + (30 + x) + (50 + x) = 111$

Чтобы решить уравнение, сначала сложим все известные числа и все переменные в левой части:

$(10 + 30 + 50) + (x + x + x) = 111$

$90 + 3x = 111$

Далее, чтобы найти значение $3x$, вычтем 90 из обеих частей уравнения:

$3x = 111 - 90$

$3x = 21$

Наконец, найдём $x$, разделив 21 на 3:

$x = \frac{21}{3}$

$x = 7$

Таким образом, искомая цифра — это 7.

Проверим правильность решения, подставив цифру 7 вместо звёздочек в исходное выражение:

$17 + 37 + 57 = 111$

Сначала сложим первые два числа:

$17 + 37 = 54$

Затем к результату прибавим третье число:

$54 + 57 = 111$

Получилось верное равенство: $111 = 111$.

Ответ: 7.

729. 1) Сколько квадратных сантиметров содержит $1 \text{ дм}^2$? $1 \text{ м}^2$?

2) Сколько квадратных метров содержит $1 \text{ км}^2$?

Запишите соответствующие равенства.

1) Чтобы определить, сколько квадратных сантиметров (см²) содержится в одном квадратном дециметре (дм²), нужно исходить из соотношения линейных единиц. В одном дециметре 10 сантиметров:
$1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$
Квадратный дециметр представляет собой площадь квадрата со стороной 1 дм. Чтобы найти эту площадь в квадратных сантиметрах, нужно возвести в квадрат линейное соотношение:
$1 \text{ дм}^2 = (1 \text{ дм}) \times (1 \text{ дм}) = (10 \text{ см}) \times (10 \text{ см}) = 100 \text{ см}^2$

Аналогично, чтобы определить, сколько квадратных сантиметров (см²) в одном квадратном метре (м²), вспомним, что в одном метре 100 сантиметров:
$1 \text{ м} = 100 \text{ см}$
Квадратный метр — это площадь квадрата со стороной 1 м. Выразим эту площадь в квадратных сантиметрах:
$1 \text{ м}^2 = (1 \text{ м}) \times (1 \text{ м}) = (100 \text{ см}) \times (100 \text{ см}) = 10000 \text{ см}^2$

Соответствующие равенства:
$1 \text{ дм}^2 = 100 \text{ см}^2$
$1 \text{ м}^2 = 10000 \text{ см}^2$
Ответ: $1 \text{ дм}^2 = 100 \text{ см}^2$; $1 \text{ м}^2 = 10000 \text{ см}^2$.

2) Чтобы определить, сколько квадратных метров (м²) содержится в одном квадратном километре (км²), нужно исходить из соотношения линейных единиц. В одном километре 1000 метров:
$1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$
Квадратный километр — это площадь квадрата со стороной 1 км. Чтобы найти эту площадь в квадратных метрах, нужно возвести в квадрат линейное соотношение:
$1 \text{ км}^2 = (1 \text{ км}) \times (1 \text{ км}) = (1000 \text{ м}) \times (1000 \text{ м}) = 1000000 \text{ м}^2$

Соответствующее равенство:
$1 \text{ км}^2 = 1000000 \text{ м}^2$
Ответ: $1 \text{ км}^2 = 1000000 \text{ м}^2$.

730. Сколько нулей надо записать вместо точек, чтобы образовалось верное равенство:

1) $1 \text{ м}^2 = 1... \text{ дм}^2$;

2) $1 \text{ см}^2 = 1... \text{ м}^2$;

3) $1 \text{ км}^2 = 1... \text{ га}?$

1) Для того чтобы определить, сколько нулей нужно дописать, необходимо знать соотношение между квадратными метрами ($м^2$) и квадратными дециметрами ($дм^2$).
В одном метре содержится 10 дециметров: $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$.
Чтобы найти соотношение для единиц площади, нужно возвести это соотношение в квадрат:
$1 \text{ м²} = (1 \text{ м}) \times (1 \text{ м}) = (10 \text{ дм}) \times (10 \text{ дм}) = 100 \text{ дм²}$.
Таким образом, верное равенство выглядит так: $1 \text{ м²} = 100 \text{ дм²}$.
Чтобы из 1 получить 100, нужно дописать два нуля.
Ответ: 2.

2) В данном пункте, скорее всего, допущена опечатка. Равенство $1 \text{ см²} = 1... \text{ м²}$ не может быть верным, так как 1 квадратный сантиметр намного меньше 1 квадратного метра. Правильное соотношение: $1 \text{ см²} = 0.0001 \text{ м²}$.
Вероятно, имелось в виду обратное соотношение: $1 \text{ м²} = 1... \text{ см²}$. Решим эту задачу.
В одном метре содержится 100 сантиметров: $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.
Чтобы найти соотношение для единиц площади, возведем это соотношение в квадрат:
$1 \text{ м²} = (1 \text{ м}) \times (1 \text{ м}) = (100 \text{ см}) \times (100 \text{ см}) = 10000 \text{ см²}$.
Таким образом, верное равенство (с исправленной опечаткой) выглядит так: $1 \text{ м²} = 10000 \text{ см²}$.
Чтобы из 1 получить 10000, нужно дописать четыре нуля.
Ответ: 4.

3) Для решения этой задачи нужно знать соотношение между квадратными километрами ($км^2$) и гектарами (га).
Один гектар (га) равен площади квадрата со стороной 100 метров, то есть $1 \text{ га} = 100 \text{ м} \times 100 \text{ м} = 10000 \text{ м²}$.
Один километр равен 1000 метров: $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$.
Тогда один квадратный километр равен:
$1 \text{ км²} = (1 \text{ км}) \times (1 \text{ км}) = (1000 \text{ м}) \times (1000 \text{ м}) = 1000000 \text{ м²}$.
Теперь найдем, сколько гектаров в одном квадратном километре:
$1 \text{ км²} = \frac{1000000 \text{ м²}}{10000 \text{ м²/га}} = 100 \text{ га}$.
Следовательно, верное равенство: $1 \text{ км²} = 100 \text{ га}$.
Чтобы из 1 получить 100, нужно дописать два нуля.
Ответ: 2.

731. Какие единицы площади целесообразно использовать для измерения площади:

1) комнаты;

2) страны;

3) фермерского поля;

4) листа тетради?

При выборе единиц измерения площади исходят из размеров объекта, чтобы получаемое число было удобным для восприятия и расчетов — не слишком большим и не слишком маленьким.

1) комнаты; Площадь комнаты удобнее всего измерять в квадратных метрах ($м^2$). Это общепринятый стандарт для жилых и нежилых помещений. Например, площадь комнаты может быть $15 \text{ м}^2$. Использование квадратных сантиметров ($см^2$) даст слишком большое число ($150000 \text{ см}^2$), а квадратных километров ($км^2$) — очень маленькое ($0,000015 \text{ км}^2$), что неудобно на практике.
Ответ: квадратные метры ($м^2$).

2) страны; Территории стран, континентов и других крупных географических объектов измеряют в квадратных километрах ($км^2$). Это самая крупная из широко используемых единиц площади, позволяющая оперировать с manageable числами для огромных пространств.
Ответ: квадратные километры ($км^2$).

3) фермерского поля; Для измерения площади земельных участков, таких как поля, обычно используют гектары (га). Один гектар равен площади квадрата со стороной 100 метров, то есть $1 \text{ га} = 10000 \text{ м}^2$. Эта единица удобна для сельскохозяйственных нужд. Иногда для участков поменьше используют ары (сотки), где $1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$.
Ответ: гектары (га).

4) листа тетради? Площадь небольших предметов, таких как лист бумаги, целесообразно измерять в квадратных сантиметрах ($см^2$). Стандартный тетрадный лист имеет размеры примерно $16,5 \text{ см} \times 20,5 \text{ см}$, его площадь составляет около $338 \text{ см}^2$. Это число легко воспринимается и используется в расчетах.
Ответ: квадратные сантиметры ($см^2$).

732. На рисунке 170 укажите равновеликие фигуры. Равны ли эти фигуры?

Рис. 170

a

б

в

г

Укажите равновеликие фигуры

Равновеликими называются фигуры, имеющие равные площади. Чтобы найти равновеликие фигуры на рисунке, нужно вычислить площадь каждой фигуры. Так как фигуры состоят из одинаковых квадратных клеток, их площадь можно измерить в этих клетках.

Посчитаем количество клеток в каждой фигуре:

1. Фигура а: состоит из 6 клеток. Её площадь $S_а = 6$ клеток.

2. Фигура б: состоит из 6 клеток. Её площадь $S_б = 6$ клеток.

3. Фигура в: состоит из 7 клеток. Её площадь $S_в = 7$ клеток.

4. Фигура г: состоит из 6 клеток. Её площадь $S_г = 6$ клеток.

Сравнивая площади, мы видим, что площади фигур 'а', 'б' и 'г' равны между собой. Следовательно, эти фигуры являются равновеликими.

Ответ: Равновеликими являются фигуры а, б, г.

Равны ли эти фигуры?

Равными называются фигуры, которые можно совместить друг с другом наложением. Равные фигуры должны иметь не только одинаковую площадь, но и одинаковую форму.

Сравним формы равновеликих фигур а, б и г:

1. Фигура а — это прямоугольник размером 3х2 клетки.

2. Фигура б и фигура г не являются прямоугольниками и имеют формы, отличные от формы фигуры 'а'.

3. Фигуры б и г также имеют разную форму. Их нельзя совместить наложением (ни сдвигом, ни поворотом).

Поскольку все три фигуры (а, б, г) имеют разную форму, они не являются равными, несмотря на то, что их площади одинаковы.

Ответ: Нет, эти фигуры не равны.