Страница 166 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

733. Считая, что длина стороны клетки равна 1 см, найдите площади фигур, изображённых на рисунке 171.

Рис. 171

а

б

в

г

По условию задачи, длина стороны одной клетки равна 1 см. Площадь такой квадратной клетки составляет $S_{клетки} = 1 \text{ см} \times 1 \text{ см} = 1 \text{ см}^2$. Все фигуры на рисунке состоят из целых клеток. Чтобы найти площадь каждой фигуры, достаточно посчитать количество клеток, из которых она состоит. Площадь фигуры в квадратных сантиметрах будет численно равна количеству клеток в ней.

а

Фигура состоит из двух рядов. В верхнем ряду 2 клетки, в нижнем — 4 клетки. Общее количество клеток: $2 + 4 = 6$.

Следовательно, площадь фигуры равна $6 \times 1 \text{ см}^2 = 6 \text{ см}^2$.

Ответ: $6 \text{ см}^2$.

б

Посчитаем количество клеток в этой фигуре, сложив их по рядам сверху вниз. Верхний ряд содержит 1 клетку, второй ряд — 2 клетки, третий ряд — 2 клетки, и нижний ряд — 1 клетку. Общее количество клеток: $1 + 2 + 2 + 1 = 6$.

Таким образом, площадь фигуры равна $6 \times 1 \text{ см}^2 = 6 \text{ см}^2$.

Ответ: $6 \text{ см}^2$.

в

Посчитаем количество клеток в фигуре, сложив их по рядам снизу вверх. Нижний ряд состоит из 4 клеток, средний ряд — из 2 клеток, а верхний ряд — из 1 клетки. Общее количество клеток: $4 + 2 + 1 = 7$.

Следовательно, площадь фигуры равна $7 \times 1 \text{ см}^2 = 7 \text{ см}^2$.

Ответ: $7 \text{ см}^2$.

г

Посчитаем количество клеток в фигуре, сложив их по рядам сверху вниз. Фигура состоит из трех рядов: в верхнем ряду 2 клетки, в среднем — 3 клетки, в нижнем — 2 клетки. Общее количество клеток: $2 + 3 + 2 = 7$.

Следовательно, площадь фигуры равна $7 \times 1 \text{ см}^2 = 7 \text{ см}^2$.

Ответ: $7 \text{ см}^2$.

734. Нарисуйте на клетчатой бумаге фигуру, отличную от прямоугольника, площадь которой равна:

1) $6 \text{ см}^2$;

2) $7 \text{ см}^2$ (длину стороны клетки считать равной $1 \text{ см}$).

1) 6 см²

Согласно условию, сторона клетки на бумаге равна 1 см, следовательно, площадь одной клетки составляет $1 \text{ см} \times 1 \text{ см} = 1 \text{ см}^2$. Задача состоит в том, чтобы нарисовать фигуру, которая не является прямоугольником, и её площадь равна 6 см². Это значит, что фигура должна состоять ровно из 6 таких клеток.

Существует множество способов составить такую фигуру. Один из простейших примеров — это Г-образная фигура (или уголок). Её можно построить следующим образом:

• Сначала нарисуйте вертикальный столбец из 4 клеток.
• Затем к самой нижней клетке этого столбца пририсуйте справа еще 2 клетки.

В результате получится фигура, состоящая из $4 + 2 = 6$ клеток. Её площадь будет равна 6 см². Эта фигура не является прямоугольником.

Альтернативный способ: можно нарисовать прямоугольный треугольник, катеты которого расположены на линиях сетки. Площадь такого треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$, где $a$ и $b$ — длины катетов. Чтобы площадь была равна 6 см², произведение длин катетов $ab$ должно равняться $12 \text{ см}^2$. Можно выбрать катеты длиной 3 см и 4 см. $S = \frac{1}{2} \cdot 3 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 6 \text{ см}^2$.

Ответ: Пример такой фигуры — Г-образная фигура из 6 клеток (как на рисунке) или прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см.

2) 7 см²

Аналогично первому пункту, нужно нарисовать фигуру, не являющуюся прямоугольником, площадью 7 см². Это означает, что фигура должна состоять из 7 клеток.

В качестве примера можно взять Т-образную фигуру. Построить её можно так:

• Нарисуйте горизонтальный ряд из 5 клеток.
• К центральной (третьей по счёту) клетке этого ряда пририсуйте снизу еще две клетки, одну под другой.

Общее число клеток в получившейся фигуре будет $5 + 2 = 7$, значит, её площадь равна 7 см². Эта фигура также не является прямоугольником.

Альтернативный способ: снова можно использовать прямоугольный треугольник. Для площади 7 см² произведение катетов $ab$ должно быть равно $14 \text{ см}^2$. Например, можно взять катеты длиной 2 см и 7 см. $S = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ см} \cdot 7 \text{ см} = 7 \text{ см}^2$.

Ответ: Пример такой фигуры — Т-образная фигура из 7 клеток (как на рисунке) или прямоугольный треугольник с катетами 2 см и 7 см.

735. Нарисуйте на клетчатой бумаге фигуру, отличную от прямоугольника, площадь которой равна $5 \text{ см}^2$ (длину стороны клетки считать равной $1 \text{ см}$).

По условию задачи, длина стороны одной клетки равна 1 см. Следовательно, площадь одной клетки составляет $S_{\text{клетки}} = 1 \text{ см} \times 1 \text{ см} = 1 \text{ см}^2$.

Чтобы получить фигуру площадью 5 см², необходимо, чтобы она состояла из 5 таких клеток. Важным условием является то, что фигура не должна быть прямоугольником. Прямоугольник из 5 клеток может быть только полосой размером $1 \times 5$ клеток. Следовательно, нужно расположить 5 клеток так, чтобы они не образовывали единую прямую полосу.

Существует множество способов это сделать. Такие фигуры, составленные из пяти квадратов, называются «пентамино». Любое пентамино, кроме прямого (I-пентамино), будет решением задачи. Приведём один из возможных вариантов — фигуру в форме креста (X-пентамино).

Эта фигура состоит из центральной клетки и четырех клеток, примыкающих к ней с каждой стороны.

Данная фигура состоит ровно из 5 клеток. Её площадь равна $5 \times 1 \text{ см}^2 = 5 \text{ см}^2$. Фигура не является прямоугольником, так как ее габаритные размеры $3 \times 3$ клетки (площадь $9 \text{ см}^2$), но она не заполняет весь этот прямоугольник. Таким образом, все условия задачи выполнены.

Ответ: Один из возможных вариантов — фигура в форме креста, состоящая из 5 клеток, как показано на рисунке выше.

736. Вычислите площадь прямоугольника, соседние стороны которого равны 14 см и 3 см.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле произведения его соседних сторон (длины $a$ и ширины $b$):
$S = a \cdot b$
По условию задачи, длины соседних сторон равны 14 см и 3 см. Подставим эти значения в формулу:
$a = 14$ см
$b = 3$ см
$S = 14 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 42 \text{ см}^2$
Ответ: $42 \text{ см}^2$

737. Вычислите площадь квадрата со стороной 7 дм.

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$, где $S$ — площадь, а $a$ — длина стороны. В данном случае сторона квадрата $a = 7$ дм. Подставив это значение в формулу, получаем: $S = 7^2 = 49$. Так как сторона измеряется в дециметрах (дм), площадь будет измеряться в квадратных дециметрах (дм$^2$).

Ответ: 49 дм$^2$.

738. Одна сторона прямоугольника равна 16 см, а соседняя сторона на 6 см длиннее. Вычислите площадь прямоугольника.

Для решения задачи обозначим стороны прямоугольника как $a$ и $b$.

1. Находим длины сторон прямоугольника.

По условию, одна сторона равна 16 см. Пусть $a = 16$ см.

Соседняя сторона $b$ на 6 см длиннее. Чтобы найти ее длину, нужно к длине стороны $a$ прибавить 6 см:

$b = a + 6 = 16 + 6 = 22$ см.

Итак, стороны прямоугольника равны 16 см и 22 см.

2. Вычисляем площадь прямоугольника.

Площадь прямоугольника ($S$) равна произведению длин его смежных сторон. Формула для вычисления площади:

$S = a \cdot b$

Подставим в формулу значения длин сторон:

$S = 16 \text{ см} \cdot 22 \text{ см} = 352 \text{ см}^2$.

Ответ: $352 \text{ см}^2$.

739. Одна сторона прямоугольника равна 48 см, а соседняя сторона в 8 раз меньше. Вычислите площадь прямоугольника.

Пусть одна сторона прямоугольника равна $a$, а соседняя — $b$.

По условию задачи, длина одной стороны составляет $a = 48$ см.

Длина соседней стороны $b$ в 8 раз меньше, следовательно, чтобы найти ее, нужно разделить длину первой стороны на 8:

$b = 48 \text{ см} \div 8 = 6 \text{ см}$

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле как произведение длин его смежных сторон:

$S = a \cdot b$

Подставим известные значения в формулу и вычислим площадь:

$S = 48 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 288 \text{ см}^2$

Ответ: 288 см².

740. Сравните на глаз площади квадратов, изображённых на рисунке 172. Проверьте свой вывод измерением.

Рис. 172

Сравните на глаз площади квадратов

При визуальном сравнении площадей двух квадратов может возникнуть оптическая иллюзия. Из-за разницы в цвете (черный квадрат на светлом фоне и белый квадрат) может показаться, что их площади не равны. Чаще всего темные фигуры на светлом фоне кажутся меньше светлых фигур того же размера. Поэтому можно предположить, что площадь черного квадрата меньше площади белого, или что они одинаковы.

Ответ: На глаз кажется, что площади квадратов равны, или что черный квадрат немного меньше белого.

Проверьте свой вывод измерением

Чтобы точно определить, равны ли площади квадратов, необходимо измерить их стороны и вычислить площади.

1. Возьмем линейку и измерим длину стороны черного квадрата. Обозначим ее как $a_ч$.
2. Затем измерим длину стороны белого квадрата. Обозначим ее как $a_б$.
3. Проведя измерения, мы обнаружим, что стороны квадратов равны: $a_ч = a_б$.
4. Площадь квадрата находится по формуле $S = a^2$, где $a$ — это длина его стороны.
5. Вычислим площадь черного квадрата: $S_ч = a_ч^2$.
6. Вычислим площадь белого квадрата: $S_б = a_б^2$.
7. Поскольку $a_ч = a_б$, то и их квадраты равны: $a_ч^2 = a_б^2$. Следовательно, площади квадратов равны: $S_ч = S_б$.

Таким образом, точное измерение показывает, что, несмотря на возможное обманчивое визуальное впечатление, площади квадратов на самом деле одинаковы.

Ответ: Измерение показывает, что стороны квадратов равны, а значит, равны и их площади.

741. Периметр прямоугольника равен 162 дм, а одна из сторон – 47 дм. Найдите площадь прямоугольника.

Для нахождения площади прямоугольника необходимо знать длины его смежных сторон. Обозначим их как $a$ и $b$. Площадь $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.

По условию задачи, одна из сторон равна 47 дм. Пусть $a = 47$ дм. Периметр прямоугольника $P$ равен 162 дм. Формула периметра: $P = 2(a + b)$.

Чтобы найти площадь, сначала найдем длину второй стороны $b$, используя известные данные о периметре.

1. Подставим известные значения в формулу периметра:
$162 = 2(47 + b)$

2. Найдем сумму длин смежных сторон (полупериметр), разделив периметр на 2:
$a + b = P / 2$
$47 + b = 162 / 2$
$47 + b = 81$

3. Теперь вычислим длину второй стороны $b$:
$b = 81 - 47$
$b = 34$ дм.

4. Теперь, зная длины обеих сторон ($a = 47$ дм и $b = 34$ дм), мы можем вычислить площадь прямоугольника:
$S = a \cdot b = 47 \cdot 34$
$S = 1598$ дм².

Ответ: 1598 дм².

742. Периметр прямоугольника равен 96 м, и он в 8 раз больше одной из сторон прямоугольника. Найдите площадь прямоугольника.

Обозначим периметр прямоугольника как $P$, а его стороны как $a$ и $b$.

По условию задачи, периметр $P = 96$ м.

1. Нахождение одной из сторон прямоугольника

В условии сказано, что периметр в 8 раз больше одной из сторон. Пусть это будет сторона $a$. Тогда можно записать следующее равенство:

$P = 8 \cdot a$

Чтобы найти длину стороны $a$, подставим известное значение периметра:

$96 = 8 \cdot a$

$a = \frac{96}{8}$

$a = 12$ м.

2. Нахождение второй стороны прямоугольника

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$. Мы знаем $P$ и $a$, поэтому можем найти вторую сторону $b$.

Подставим известные значения в формулу:

$96 = 2 \cdot (12 + b)$

Разделим обе части уравнения на 2:

$48 = 12 + b$

Теперь найдем $b$:

$b = 48 - 12$

$b = 36$ м.

3. Нахождение площади прямоугольника

Площадь прямоугольника $S$ равна произведению его сторон:

$S = a \cdot b$

Подставим найденные значения сторон $a = 12$ м и $b = 36$ м:

$S = 12 \cdot 36$

$S = 432$ м².

Ответ: 432 м².

743. Найдите площадь квадрата, периметр которого равен 96 см.

Чтобы найти площадь квадрата, зная его периметр, необходимо сначала вычислить длину стороны квадрата.

1. Нахождение длины стороны квадрата

Периметр квадрата ($P$) — это сумма длин всех его четырех равных сторон. Формула для вычисления периметра: $P = 4a$, где $a$ — длина стороны квадрата.

По условию задачи, периметр равен 96 см. Используя формулу, найдем длину стороны $a$:

$4a = 96$

Разделим обе части уравнения на 4:

$a = 96 \div 4$

$a = 24$ см.

Следовательно, длина стороны квадрата составляет 24 см.

2. Нахождение площади квадрата

Площадь квадрата ($S$) вычисляется по формуле $S = a^2$, то есть возведением длины его стороны в квадрат.

Подставим найденное значение стороны $a = 24$ см в формулу площади:

$S = 24^2 = 24 \times 24$

$S = 576$ см².

Ответ: 576 см².

744. Периметр прямоугольника равен 4 м 8 дм, одна из его сторон в 5 раз больше соседней стороны. Найдите площадь прямоугольника.

Для решения задачи сначала переведем периметр прямоугольника в одну единицу измерения. Удобнее всего использовать дециметры, так как $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$.

$P = 4 \text{ м } 8 \text{ дм} = 4 \cdot 10 \text{ дм} + 8 \text{ дм} = 40 \text{ дм} + 8 \text{ дм} = 48 \text{ дм}$.

Пусть одна (меньшая) сторона прямоугольника равна $a$. Согласно условию, соседняя сторона в 5 раз больше, следовательно, ее длина равна $b = 5a$.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. Подставим в формулу известные нам значения и составим уравнение:
$2(a + 5a) = 48$

Решим полученное уравнение, чтобы найти длину сторон:
$2(6a) = 48$
$12a = 48$
$a = \frac{48}{12}$
$a = 4$ (дм) – это длина меньшей стороны.

Теперь найдем длину большей стороны:
$b = 5a = 5 \cdot 4 = 20$ (дм).

Площадь прямоугольника $S$ равна произведению его смежных сторон: $S = a \cdot b$. Вычислим площадь:
$S = 4 \text{ дм} \cdot 20 \text{ дм} = 80 \text{ дм}^2$.

Ответ: $80 \text{ дм}^2$.

745. Периметр прямоугольника равен 6 дм 8 см, одна из его сторон на 1 дм 6 см меньше соседней стороны. Найдите площадь прямоугольника.

Для решения задачи сначала переведем все величины в одну единицу измерения — сантиметры (см).

1. Перевод единиц измерения.

Периметр прямоугольника $P = 6 \text{ дм } 8 \text{ см}$.
Так как $1 \text{ дм } = 10 \text{ см}$, то $6 \text{ дм } = 6 \times 10 = 60 \text{ см}$.
Следовательно, периметр $P = 60 \text{ см } + 8 \text{ см } = 68 \text{ см}$.

Разность длин соседних сторон равна $1 \text{ дм } 6 \text{ см}$.
$1 \text{ дм } 6 \text{ см } = 10 \text{ см } + 6 \text{ см } = 16 \text{ см}$.

2. Нахождение сторон прямоугольника.

Формула периметра прямоугольника: $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ – его соседние стороны.
Полупериметр (сумма двух соседних сторон) равен $a+b = P/2$.
$a+b = 68 / 2 = 34 \text{ см}$.

Пусть $a$ – большая сторона, а $b$ – меньшая. Из условия задачи мы знаем, что одна сторона на 16 см меньше другой, то есть $a - b = 16 \text{ см}$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $a+b = 34$
2) $a-b = 16$

Сложим эти два уравнения:
$(a+b) + (a-b) = 34 + 16$
$2a = 50$
$a = 50 / 2 = 25 \text{ см}$.

Теперь подставим значение $a$ в первое уравнение, чтобы найти $b$:
$25 + b = 34$
$b = 34 - 25 = 9 \text{ см}$.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 25 см и 9 см.

3. Нахождение площади прямоугольника.

Формула площади прямоугольника: $S = a \times b$.
$S = 25 \text{ см } \times 9 \text{ см } = 225 \text{ см}^2$.

Площадь также можно выразить в квадратных дециметрах и сантиметрах. Так как $1 \text{ дм}^2 = 100 \text{ см}^2$, то $225 \text{ см}^2 = 200 \text{ см}^2 + 25 \text{ см}^2 = 2 \text{ дм}^2 25 \text{ см}^2$.

Ответ: $225 \text{ см}^2$ (или $2 \text{ дм}^2 25 \text{ см}^2$).