Страница 173 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Из каких фигур состоит поверхность прямоугольного параллелепипеда?

1. Поверхность прямоугольного параллелепипеда — это совокупность всех его граней. Прямоугольный параллелепипед является объемной (трехмерной) фигурой, которая ограничена шестью гранями.

По определению, у прямоугольного параллелепипеда все грани являются прямоугольниками. Всего у него 6 граней. Эти грани попарно равны и параллельны:

- нижнее и верхнее основания — два равных прямоугольника;
- передняя и задняя грани — два равных прямоугольника;
- левая и правая боковые грани — также два равных прямоугольника.

Таким образом, поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из трех пар равных прямоугольников.

Частным случаем прямоугольного параллелепипеда является куб. У куба все шесть граней — это равные между собой квадраты. Так как квадрат является частным случаем прямоугольника (это прямоугольник, у которого все стороны равны), то поверхность куба также состоит из прямоугольников.

Ответ: Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из шести прямоугольников.

2. Сколько прямоугольный параллелепипед имеет граней? вершин? рёбер?

граней?
Прямоугольный параллелепипед — это объёмная геометрическая фигура, ограниченная шестью гранями. Каждая грань является прямоугольником. У него есть два основания (верхнее и нижнее) и четыре боковые грани. Таким образом, общее количество граней равно $2 + 4 = 6$.
Ответ: 6.

вершин?
Вершина в геометрии — это точка, в которой сходятся рёбра многогранника. У прямоугольного параллелепипеда есть 4 вершины на нижнем основании и 4 вершины на верхнем основании. Итоговое количество вершин составляет $4 + 4 = 8$.
Ответ: 8.

рёбер?
Ребро — это отрезок, являющийся общей стороной двух смежных граней. У прямоугольного параллелепипеда можно посчитать рёбра следующим образом: 4 ребра на нижнем основании, 4 ребра на верхнем основании и 4 боковых ребра, которые соединяют соответствующие вершины оснований. Всего получается $4 + 4 + 4 = 12$ рёбер.
Ответ: 12.

Найденные значения можно проверить с помощью теоремы Эйлера о соотношении числа вершин, рёбер и граней для выпуклых многогранников: $В - Р + Г = 2$, где $В$ — число вершин, $Р$ — число рёбер, а $Г$ — число граней. Подставим наши значения: $8 - 12 + 6 = -4 + 6 = 2$. Равенство $2 = 2$ выполняется, что подтверждает правильность подсчётов.

3. Назовите измерения прямоугольного параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед – это объемная геометрическая фигура, у которой все шесть граней являются прямоугольниками. Для полного определения его размеров в пространстве используются три характеристики, которые называются измерениями или линейными размерами.

Эти три измерения представляют собой длины трех ребер, которые сходятся в одной общей вершине. Эти ребра взаимно перпендикулярны друг другу. Традиционно эти измерения называют:

• Длина
• Ширина
• Высота

Если обозначить эти измерения латинскими буквами $a$, $b$ и $c$, то они будут соответствовать длине, ширине и высоте фигуры. Значения этих трех измерений полностью определяют форму и размер параллелепипеда. Например, его объем ($V$) вычисляется как произведение этих трех величин:

$V = a \cdot b \cdot c$

Таким образом, измерения прямоугольного параллелепипеда — это три его основных размера в трех направлениях.

Ответ: Измерениями прямоугольного параллелепипеда являются его длина, ширина и высота.

4. Какую фигуру называют кубом?

Куб (или правильный гексаэдр) — это трёхмерная геометрическая фигура, представляющая собой правильный многогранник, каждая грань которого является квадратом. Куб является частным случаем прямоугольного параллелепипеда, у которого все рёбра (длина, ширина и высота) равны между собой.

Основные элементы и свойства куба:

• Грани: У куба 6 граней, и все они — равные квадраты.
• Рёбра: У куба 12 рёбер одинаковой длины.
• Вершины: У куба 8 вершин. В каждой вершине сходятся три ребра.

Если обозначить длину ребра куба как $a$, то его основные характеристики можно вычислить по формулам:

• Объём куба: $V = a^3$
• Площадь полной поверхности: $S = 6a^2$
• Длина диагонали куба: $d = a\sqrt{3}$

Ответ: Кубом называют правильный многогранник, все шесть граней которого являются равными квадратами.

5. Из каких фигур состоит поверхность куба?

Куб — это правильный многогранник, который также называют правильным гексаэдром. Его поверхность представляет собой замкнутую оболочку, состоящую из плоских многоугольников, называемых гранями.

Чтобы определить, из каких именно фигур состоит поверхность куба, рассмотрим его свойства:

• У куба 6 граней.
• Все рёбра куба имеют одинаковую длину.
• Все углы между смежными рёбрами на одной грани являются прямыми ($90^\circ$).

Из этих свойств следует, что каждая грань куба является четырёхугольником с равными сторонами и прямыми углами. Такая фигура называется квадратом.

Поскольку все 12 рёбер куба равны между собой, то и все 6 граней являются равными (конгруэнтными) квадратами. Если обозначить длину ребра куба как $a$, то каждая грань будет квадратом со стороной $a$. Площадь поверхности куба вычисляется как сумма площадей шести таких квадратов: $S = 6 \cdot a^2$.

Ответ: Поверхность куба состоит из шести равных квадратов.

1. Вычислите:

1) $13 \cdot 4 \cdot 25$;

2) $4 \cdot 5 \cdot 78 \cdot 5$;

3) $125 \cdot 943 \cdot 8$.

1) Для вычисления значения выражения $13 \cdot 4 \cdot 25$ удобно использовать сочетательное свойство умножения. Мы можем сгруппировать множители так, чтобы вычисления были проще. Заметим, что произведение $4 \cdot 25$ равно 100.
$13 \cdot 4 \cdot 25 = 13 \cdot (4 \cdot 25)$
Сначала выполним умножение в скобках:
$4 \cdot 25 = 100$
Теперь умножим 13 на полученный результат:
$13 \cdot 100 = 1300$
Ответ: 1300

2) Чтобы вычислить $4 \cdot 5 \cdot 78 \cdot 5$, воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами умножения, чтобы сгруппировать множители наиболее удобным способом. Сгруппируем 4, 5 и 5, так как их произведение дает круглое число.
$4 \cdot 5 \cdot 78 \cdot 5 = (4 \cdot 5 \cdot 5) \cdot 78$
Вычислим произведение в скобках. Проще всего умножить 5 на 5, а затем результат на 4.
$(4 \cdot (5 \cdot 5)) \cdot 78 = (4 \cdot 25) \cdot 78$
$4 \cdot 25 = 100$
Теперь умножим 100 на 78:
$100 \cdot 78 = 7800$
Ответ: 7800

3) В выражении $125 \cdot 943 \cdot 8$ также применим свойства умножения для упрощения вычислений. Заметим, что произведение $125 \cdot 8$ равно 1000. Сгруппируем эти множители.
$125 \cdot 943 \cdot 8 = (125 \cdot 8) \cdot 943$
Вычислим произведение в скобках:
$125 \cdot 8 = 1000$
Теперь умножим 1000 на оставшийся множитель 943:
$1000 \cdot 943 = 943000$
Ответ: 943000

Вычислите: 1) $18 + 23$; 2) $75 + 83$; 3) $120 + 34$.

1) $3a \cdot 16b$; 2) $4m \cdot 9n \cdot 5k$; 3) $7a \cdot 2b \cdot 50c \cdot 8d$.

1) Чтобы упростить выражение $3a \cdot 16b$, необходимо перемножить числовые коэффициенты и буквенные множители по отдельности. Это можно сделать благодаря переместительному и сочетательному свойствам умножения.
Сначала сгруппируем числовые коэффициенты и переменные:
$3a \cdot 16b = (3 \cdot 16) \cdot (a \cdot b)$
Теперь выполним умножение в каждой группе:
$3 \cdot 16 = 48$
$a \cdot b = ab$
Объединив результаты, получаем упрощенное выражение.
Ответ: $48ab$

2) Для упрощения выражения $4m \cdot 9n \cdot 5k$ поступим аналогично: сгруппируем и перемножим числовые коэффициенты, а затем буквенные множители.
$4m \cdot 9n \cdot 5k = (4 \cdot 9 \cdot 5) \cdot (m \cdot n \cdot k)$
Вычислим произведение чисел. Для удобства можно изменить порядок множителей:
$(4 \cdot 5) \cdot 9 = 20 \cdot 9 = 180$
Произведение переменных равно $mnk$.
Объединив результаты, получаем упрощенное выражение.
Ответ: $180mnk$

3) Упростим выражение $7a \cdot 2b \cdot 50c \cdot 8d$. Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные и перемножим их.
$7a \cdot 2b \cdot 50c \cdot 8d = (7 \cdot 2 \cdot 50 \cdot 8) \cdot (a \cdot b \cdot c \cdot d)$
Вычислим произведение чисел. Для удобства сгруппируем множители так, чтобы получить круглые числа:
$(2 \cdot 50) \cdot (7 \cdot 8) = 100 \cdot 56 = 5600$
Произведение переменных равно $abcd$.
Объединив результаты, получаем упрощенное выражение.
Ответ: $5600abcd$

3. Раскройте скобки:
1) $2(a+b)$
2) $(3-b) \cdot 5$
3) $6m(7n+8p)$

1) Чтобы раскрыть скобки в выражении $2(a + b)$, необходимо применить распределительное свойство умножения. Множитель перед скобками, равный 2, умножается на каждое слагаемое внутри скобок, то есть на $a$ и на $b$.
$2 \cdot a + 2 \cdot b = 2a + 2b$
Таким образом, выражение принимает вид:
$2(a + b) = 2a + 2b$
Ответ: $2a + 2b$

2) В выражении $(3 - b) \cdot 5$ также используется распределительное свойство умножения. Каждый член внутри скобок (3 и $b$) умножается на множитель, стоящий за скобками, то есть на 5.
$3 \cdot 5 - b \cdot 5 = 15 - 5b$
Таким образом, выражение принимает вид:
$(3 - b) \cdot 5 = 15 - 5b$
Ответ: $15 - 5b$

3) Для раскрытия скобок в выражении $6m(7n + 8p)$ нужно умножить одночлен $6m$ на каждый член многочлена в скобках ($7n$ и $8p$).
Сначала умножим $6m$ на $7n$:
$6m \cdot 7n = (6 \cdot 7) \cdot (m \cdot n) = 42mn$
Затем умножим $6m$ на $8p$:
$6m \cdot 8p = (6 \cdot 8) \cdot (m \cdot p) = 48mp$
Теперь сложим полученные произведения:
$6m(7n + 8p) = 42mn + 48mp$
Ответ: $42mn + 48mp$

4. В магазине разложили 6 ц яблок в ящики так, что в каждом ящике оказалось по 12 кг яблок. Сколько ящиков заполнили яблоками?

Для решения этой задачи необходимо общую массу яблок разделить на массу яблок, которая помещается в один ящик. Так как величины даны в разных единицах измерения (центнеры и килограммы), сначала нужно привести их к одной единице. Переведем общую массу яблок в килограммы.

Известно, что 1 центнер (ц) равен 100 килограммам (кг). Найдем общую массу яблок в килограммах:

$6 \text{ ц} = 6 \times 100 \text{ кг} = 600 \text{ кг}$

Теперь, зная, что общая масса яблок составляет 600 кг, а в каждый ящик кладут по 12 кг, найдем количество ящиков путем деления:

$600 \text{ кг} \div 12 \text{ кг} = 50 \text{ (ящиков)}$

Ответ: 50 ящиков.

5. Во сколько раз площадь квадрата, сторона которого равна 6 см, больше площади квадрата со стороной 2 см?

Чтобы решить задачу, необходимо найти площади обоих квадратов, а затем найти их отношение.

1. Вычисление площади первого квадрата

Площадь квадрата ($S$) вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ — длина его стороны.
Сторона первого квадрата равна 6 см. Обозначим его площадь как $S_1$.
$S_1 = 6^2 = 36$ см$^2$.

2. Вычисление площади второго квадрата

Сторона второго квадрата равна 2 см. Обозначим его площадь как $S_2$.
$S_2 = 2^2 = 4$ см$^2$.

3. Нахождение отношения площадей

Чтобы определить, во сколько раз площадь первого квадрата больше площади второго, нужно разделить площадь первого квадрата на площадь второго:
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{36}{4} = 9$.

Ответ: в 9 раз.

Рис. 189

Упражнения

771. На рисунке 189 изображён прямоугольный параллелепипед $MNKPEFST$. Назовите:

1) рёбра, являющиеся сторонами грани $EFST$;

2) грани, которым принадлежит вершина $K$;

3) рёбра, равные ребру $NK$;

4) грани, имеющие общее ребро $ME$;

5) грань, равную грани $PTSK$.

1) рёбра, являющиеся сторонами грани EFST

Грань EFST — это верхняя грань прямоугольного параллелепипеда. Её сторонами являются отрезки (рёбра), соединяющие её вершины. Это рёбра EF, FS, ST и TE.
Ответ: EF, FS, ST, TE.

2) грани, которым принадлежит вершина K

Вершина K — это точка, в которой сходятся три грани. Исходя из рисунка, это:
- нижняя грань: MNKP
- передняя грань: NFSK
- правая боковая грань: PKST (в условии она названа PTSK, что является той же гранью)
Ответ: MNKP, NFSK, PTSK.

3) рёбра, равные ребру NK

В прямоугольном параллелепипеде рёбра, которые параллельны друг другу, имеют одинаковую длину. Ребро NK принадлежит к группе из четырёх параллельных рёбер, определяющих одно из измерений (длину). Другими рёбрами в этой группе являются MP, FS и ET.
Ответ: MP, FS, ET.

4) грани, имеющие общее ребро ME

Ребро ME является общей стороной для двух граней, которые пересекаются по этому ребру. Это:
- левая боковая грань: MNEF
- задняя грань: MPTE
Ответ: MNEF, MPTE.

5) грань, равную грани PTSK

В прямоугольном параллелепипеде противоположные грани равны (конгруэнтны). Грань PTSK — это правая боковая грань. Противоположной ей является левая боковая грань, образованная вершинами M, N, E, F.
Ответ: MNEF.