Страница 161 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

720. В ящике лежит меньше 80 мандаринов. Известно, что их можно разделить поровну между двумя, тремя или пятью детьми, но нельзя разделить поровну между четырьмя детьми. Сколько мандаринов лежит в ящике?

Пусть $N$ — искомое количество мандаринов в ящике.

Из условия задачи нам известно, что:1. Количество мандаринов меньше 80, то есть $N < 80$.2. Количество мандаринов можно разделить поровну между двумя, тремя или пятью детьми. Это означает, что число $N$ должно быть кратно числам 2, 3 и 5 одновременно.3. Количество мандаринов нельзя разделить поровну между четырьмя детьми, то есть $N$ не делится на 4.

Найдем числа, которые удовлетворяют второму условию. Если число делится на 2, 3 и 5, оно должно делиться на их наименьшее общее кратное (НОК). Поскольку 2, 3 и 5 — взаимно простые числа, их НОК равно их произведению:$НОК(2, 3, 5) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.

Следовательно, количество мандаринов $N$ должно быть кратно 30. Выпишем все числа, кратные 30, которые меньше 80 (первое условие):

• $30 \cdot 1 = 30$
• $30 \cdot 2 = 60$
• $30 \cdot 3 = 90$ (это значение больше 80, поэтому оно не подходит).

Таким образом, у нас есть два возможных варианта: 30 или 60 мандаринов.

Теперь проверим эти варианты, используя третье условие: количество мандаринов не должно делиться на 4.

• Проверяем число 30: $30 \div 4 = 7$ с остатком 2. Число 30 не делится на 4 без остатка. Этот вариант подходит.
• Проверяем число 60: $60 \div 4 = 15$. Число 60 делится на 4 без остатка. Этот вариант не подходит.

Единственное число, которое удовлетворяет всем условиям задачи, — это 30.

Ответ: в ящике лежит 30 мандаринов.

721. Для новогодних подарков приобрели 96 шоколадок, 72 апельсина и 84 банана. Какое наибольшее количество одинаковых подарков можно из них составить, если необходимо использовать все продукты? Сколько в отдельности шоколадок, апельсинов и бананов будет в каждом подарке?

Какое наибольшее количество одинаковых подарков можно из них составить, если необходимо использовать все продукты?

Чтобы найти наибольшее возможное количество одинаковых подарков, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 96 (количество шоколадок), 72 (количество апельсинов) и 84 (количество бананов). Это число покажет, на какое максимальное количество равных частей можно разделить каждый вид продуктов одновременно.

Разложим каждое из чисел на простые множители:
$96 = 2 \times 48 = 2 \times 2 \times 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 12 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^5 \times 3$
$72 = 2 \times 36 = 2 \times 2 \times 18 = 2 \times 2 \times 2 \times 9 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2$
$84 = 2 \times 42 = 2 \times 2 \times 21 = 2 \times 2 \times 3 \times 7 = 2^2 \times 3 \times 7$

Для нахождения НОД нужно выбрать общие для всех трех чисел простые множители в наименьшей степени, в которой они встречаются. Общие множители — это 2 и 3.
Наименьшая степень для 2 — это $2^2$.
Наименьшая степень для 3 — это $3^1$.

$НОД(96; 72; 84) = 2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12$

Таким образом, наибольшее количество одинаковых подарков, которое можно составить, — 12.

Ответ: 12 подарков.

Сколько в отдельности шоколадок, апельсинов и бананов будет в каждом подарке?

Теперь, зная, что можно составить 12 подарков, найдем количество каждого продукта в одном подарке. Для этого разделим общее количество каждого продукта на количество подарков.

Количество шоколадок в каждом подарке:
$96 \div 12 = 8$

Количество апельсинов в каждом подарке:
$72 \div 12 = 6$

Количество бананов в каждом подарке:
$84 \div 12 = 7$

Ответ: в каждом подарке будет 8 шоколадок, 6 апельсинов и 7 бананов.

722. Из 156 жёлтых, 234 белых и 390 красных роз составляли букеты. Какое наибольшее количество одинаковых букетов можно составить, если необходимо использовать все цветы?

Чтобы найти наибольшее количество одинаковых букетов, которое можно составить из всех цветов, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для чисел 156, 234 и 390. НОД покажет максимальное число букетов, на которое можно разделить все розы без остатка, сохранив при этом одинаковый состав в каждом букете.

1. Разложим каждое число на простые множители.

Разложение числа 156:
$156 = 2 \cdot 78 = 2 \cdot 2 \cdot 39 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 13 = 2^2 \cdot 3 \cdot 13$

Разложение числа 234:
$234 = 2 \cdot 117 = 2 \cdot 3 \cdot 39 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 13 = 2 \cdot 3^2 \cdot 13$

Разложение числа 390:
$390 = 10 \cdot 39 = 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 13 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13$

2. Найдём наибольший общий делитель. Для этого нужно взять общие для всех трёх разложений простые множители, каждый в наименьшей степени, в которой он встречается.

Общими множителями для чисел 156, 234 и 390 являются 2, 3 и 13.

• Множитель 2 входит в разложения в степенях $2^2$, $2^1$, $2^1$. Наименьшая степень – 1. Берём $2^1$.
• Множитель 3 входит в разложения в степенях $3^1$, $3^2$, $3^1$. Наименьшая степень – 1. Берём $3^1$.
• Множитель 13 входит во все разложения в степени $13^1$. Берём $13^1$.

Теперь перемножим эти множители, чтобы найти НОД:
$НОД(156; 234; 390) = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 13^1 = 2 \cdot 3 \cdot 13 = 6 \cdot 13 = 78$.

Следовательно, можно составить 78 одинаковых букетов.
При этом в каждом букете будет:
- жёлтых роз: $156 \div 78 = 2$;
- белых роз: $234 \div 78 = 3$;
- красных роз: $390 \div 78 = 5$.

Ответ: 78.

723. Саша ходит в бассейн один раз в три дня, Коля — раз в четыре дня, Петя — раз в пять дней. Мальчики встретились в бассейне во вторник. Через сколько дней и в какой день недели они встретятся в следующий раз?

Чтобы определить, через сколько дней мальчики снова встретятся в бассейне, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) для периодичности их посещений: 3, 4 и 5 дней. Это будет наименьшее число дней, которое делится без остатка на 3, 4 и 5.

Поскольку числа 3, 4 и 5 являются взаимно простыми (не имеют общих делителей, кроме 1), их наименьшее общее кратное равно их произведению:$НОК(3, 4, 5) = 3 \times 4 \times 5 = 60$.Таким образом, мальчики встретятся снова через 60 дней.

Теперь определим, какой это будет день недели. Их первая встреча была во вторник. Чтобы узнать день недели через 60 дней, нужно найти остаток от деления 60 на количество дней в неделе, то есть на 7:$60 \div 7 = 8$ (остаток $4$).Это означает, что пройдет 8 полных недель и еще 4 дня. Отсчитаем 4 дня вперед от вторника:
1. Среда
2. Четверг
3. Пятница
4. Суббота
Следовательно, следующая встреча произойдет в субботу.

Ответ: мальчики встретятся в следующий раз через 60 дней, это будет в субботу.

724. Собирая подарки к Новому году, сотрудники магазина увидели, что имеющиеся конфеты можно разложить поровну по 15 штук или по 20 штук в один подарок. Сколько было конфет, если известно, что их было больше 600 и меньше 700?

Пусть $N$ — искомое количество конфет. По условию задачи, конфеты можно разложить поровну по 15 штук или по 20 штук. Это означает, что число $N$ должно делиться нацело и на 15, и на 20. Следовательно, $N$ является общим кратным чисел 15 и 20.

Для нахождения всех общих кратных сначала найдем наименьшее общее кратное (НОК) чисел 15 и 20.

Разложим числа 15 и 20 на простые множители:
$15 = 3 \cdot 5$
$20 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$

Чтобы найти НОК, нужно взять все простые множители, входящие в разложения, в их наивысших степенях и перемножить их:
$НОК(15, 20) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 15 = 60$.

Таким образом, общее количество конфет $N$ должно быть кратно 60. То есть, $N$ может быть равно $60, 120, 180, ...$ и так далее. Формально, $N = 60 \cdot k$, где $k$ — натуральное число.

В задаче также указано, что количество конфет было больше 600 и меньше 700. Запишем это в виде двойного неравенства:
$600 < N < 700$.

Подставим $N = 60 \cdot k$ в это неравенство:
$600 < 60 \cdot k < 700$.

Разделим все части неравенства на 60, чтобы найти возможное значение $k$:
$\frac{600}{60} < k < \frac{700}{60}$
$10 < k < 11 \frac{40}{60}$
$10 < k < 11 \frac{2}{3}$

Единственное целое число $k$, которое удовлетворяет этому неравенству, это $k = 11$.

Теперь найдем количество конфет $N$:
$N = 60 \cdot k = 60 \cdot 11 = 660$.

Проверим, удовлетворяет ли число 660 всем условиям задачи:
1. Делится ли на 15? $660 \div 15 = 44$. Да.
2. Делится ли на 20? $660 \div 20 = 33$. Да.
3. Находится ли в интервале (600, 700)? $600 < 660 < 700$. Да.

Все условия выполнены.

Ответ: 660 конфет.

725. Заполните цепочку вычислений:

1) $ \boxed{\text{5 м}} \xrightarrow{:32} \circ \xrightarrow{-25 \text{ дм}} \circ \xrightarrow{:9} \circ \xrightarrow{+4 \text{ м}} \boxed{ } $;

2) $ \boxed{\text{15 мин}} \xrightarrow{\cdot 12} \circ \xrightarrow{+2 \text{ ч}} \circ \xrightarrow{:60} \circ \xrightarrow{-48 \text{ с}} \boxed{ } $.

Решим первую цепочку вычислений по шагам, выполняя действия с именованными числами. Для операций сложения и вычитания необходимо приводить величины к общим единицам измерения.
1. Первое действие — умножение:
$5 \text{ м} \cdot 32 = 160 \text{ м}$
2. Второе действие — вычитание. Прежде чем вычитать, переведем метры в дециметры. Мы знаем, что в одном метре 10 дециметров ($1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$).
$160 \text{ м} = 160 \cdot 10 \text{ дм} = 1600 \text{ дм}$
Теперь выполним вычитание:
$1600 \text{ дм} - 25 \text{ дм} = 1575 \text{ дм}$
3. Третье действие — деление:
$1575 \text{ дм} : 9 = 175 \text{ дм}$
4. Четвертое действие — сложение. Снова приведем величины к одной единице измерения.
$4 \text{ м} = 4 \cdot 10 \text{ дм} = 40 \text{ дм}$
Теперь выполним сложение:
$175 \text{ дм} + 40 \text{ дм} = 215 \text{ дм}$
Этот результат также можно представить как 21 м 5 дм.

Ответ: 215 дм.

Решим вторую цепочку вычислений по шагам.
1. Первое действие — умножение:
$15 \text{ мин} \cdot 12 = 180 \text{ мин}$
2. Второе действие — сложение. Приведем величины к общим единицам измерения. Мы знаем, что в одном часе 60 минут ($1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$).
$2 \text{ ч} = 2 \cdot 60 \text{ мин} = 120 \text{ мин}$
Теперь выполним сложение:
$180 \text{ мин} + 120 \text{ мин} = 300 \text{ мин}$
3. Третье действие — деление:
$300 \text{ мин} : 60 = 5 \text{ мин}$
4. Четвертое действие — вычитание. Приведем величины к общим единицам измерения. Мы знаем, что в одной минуте 60 секунд ($1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$).
$5 \text{ мин} = 5 \cdot 60 \text{ с} = 300 \text{ с}$
Теперь выполним вычитание:
$300 \text{ с} - 48 \text{ с} = 252 \text{ с}$
Этот результат также можно представить как 4 мин 12 с.

Ответ: 252 с.

726. На счёте Машиного мобильного телефона было 62 р., а после разговора с подругой осталось 27 р. Сколько минут они общались, если 1 мин разговора у мобильного оператора, которым пользуется Маша, стоит 2 р. 50 к.?

1. Первым действием определим, сколько денег было потрачено на разговор. Для этого из суммы, которая была на счете до разговора, вычтем сумму, которая осталась после него.

$62 - 27 = 35$ (рублей) — стоимость всего разговора.

2. Теперь переведем стоимость одной минуты разговора из рублей и копеек в рубли для удобства расчетов. Так как 1 рубль равен 100 копейкам, то 50 копеек — это 0,5 рубля.

$2 \text{ р. } 50 \text{ к.} = 2,5 \text{ р.}$

3. Чтобы найти, сколько минут длился разговор, разделим общую стоимость разговора на стоимость одной минуты.

$35 \div 2,5 = 14$ (минут).

Ответ: 14 минут.

727. Если к некоторому двузначному числу справа дописать нуль, то данное число увеличится на 432. Найдите это число.

Пусть искомое двузначное число равно $x$.

Когда к числу справа дописывают нуль, это равносильно умножению этого числа на 10. Таким образом, новое число будет равно $10x$.

Согласно условию задачи, новое число на 432 больше исходного. Мы можем составить следующее уравнение:

$10x = x + 432$

Для решения уравнения перенесём $x$ из правой части в левую, изменив знак:

$10x - x = 432$

$9x = 432$

Теперь найдём $x$, разделив обе части уравнения на 9:

$x = \frac{432}{9}$

$x = 48$

Таким образом, искомое двузначное число — 48.

Выполним проверку:
Исходное число: 48.
Число с нулём справа: 480.
Разница: $480 - 48 = 432$.
Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 48

728. Докажите, что значение выражения $101^{2023} - 6$ делится нацело на 5.

Для того чтобы доказать, что значение выражения $101^{2023} - 6$ делится нацело на 5, воспользуемся признаком делимости на 5: число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 0 или 5. Определим последнюю цифру значения данного выражения.

1. Найдем последнюю цифру числа $101^{2023}$.

Последняя цифра любой натуральной степени числа зависит только от последней цифры его основания. Основание степени — число 101, которое оканчивается на цифру 1.

При возведении в любую натуральную степень числа, оканчивающегося на 1, результат также будет оканчиваться на 1. Рассмотрим это на примерах:

$101^1 = 101$

$101^2 = 101 \times 101 = 10201$

$101^3 = 10201 \times 101 = 1030301$

В общем виде, при умножении числа, оканчивающегося на 1, на другое число, оканчивающееся на 1, последняя цифра произведения будет $1 \times 1 = 1$. Следовательно, число $101^{2023}$ оканчивается на цифру 1.

2. Найдем последнюю цифру разности $101^{2023} - 6$.

Мы установили, что уменьшаемое $101^{2023}$ — это число, которое оканчивается на 1. Нам нужно из этого числа вычесть 6. При вычитании 6 из числа, оканчивающегося на 1, последняя цифра результата всегда будет 5. Например, $11 - 6 = 5$, $21 - 6 = 15$, $101 - 6 = 95$. Значит, значение выражения $101^{2023} - 6$ оканчивается на 5.

3. Вывод.

Поскольку значение выражения $101^{2023} - 6$ оканчивается на цифру 5, оно делится нацело на 5.

Ответ: Значение выражения $101^{2023} - 6$ оканчивается на 5, следовательно, оно делится нацело на 5, что и требовалось доказать.