Номер 722, страница 161 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Параграф 26. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное. Упражнения - номер 722, страница 161.

Условие.

722. Из 156 жёлтых, 234 белых и 390 красных роз составляли букеты. Какое наибольшее количество одинаковых букетов можно составить, если необходимо использовать все цветы?

Решение.

Решение 2.

Чтобы найти наибольшее количество одинаковых букетов, которое можно составить из всех цветов, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для чисел 156, 234 и 390. НОД покажет максимальное число букетов, на которое можно разделить все розы без остатка, сохранив при этом одинаковый состав в каждом букете.

1. Разложим каждое число на простые множители.

Разложение числа 156:
$156 = 2 \cdot 78 = 2 \cdot 2 \cdot 39 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 13 = 2^2 \cdot 3 \cdot 13$

Разложение числа 234:
$234 = 2 \cdot 117 = 2 \cdot 3 \cdot 39 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 13 = 2 \cdot 3^2 \cdot 13$

Разложение числа 390:
$390 = 10 \cdot 39 = 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 13 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13$

2. Найдём наибольший общий делитель. Для этого нужно взять общие для всех трёх разложений простые множители, каждый в наименьшей степени, в которой он встречается.

Общими множителями для чисел 156, 234 и 390 являются 2, 3 и 13.

• Множитель 2 входит в разложения в степенях $2^2$, $2^1$, $2^1$. Наименьшая степень – 1. Берём $2^1$.
• Множитель 3 входит в разложения в степенях $3^1$, $3^2$, $3^1$. Наименьшая степень – 1. Берём $3^1$.
• Множитель 13 входит во все разложения в степени $13^1$. Берём $13^1$.

Теперь перемножим эти множители, чтобы найти НОД:
$НОД(156; 234; 390) = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 13^1 = 2 \cdot 3 \cdot 13 = 6 \cdot 13 = 78$.

Следовательно, можно составить 78 одинаковых букетов.
При этом в каждом букете будет:
- жёлтых роз: $156 \div 78 = 2$;
- белых роз: $234 \div 78 = 3$;
- красных роз: $390 \div 78 = 5$.

Ответ: 78.