Номер 718, страница 160 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 26. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Раздел I. Натуральные числа и действия над ними - номер 718, страница 160.

718. С одного места в одном направлении по велотреку одновременно стартовали два велосипедиста. Один из них делает круг за 1 мин, а другой — за 45 с. Через какое наименьшее количество минут после начала движения они одновременно окажутся в месте старта? Сколько кругов по велотреку при этом сделает каждый из них?

Чтобы велосипедисты снова оказались в месте старта одновременно, должно пройти время, которое будет кратно времени прохождения круга для каждого из них. Нам нужно найти наименьшее такое время, то есть наименьшее общее кратное (НОК) их времен.

Через какое наименьшее количество минут после начала движения они одновременно окажутся в месте старта?

Сначала приведем время прохождения круга к одной единице измерения — секундам.

Время первого велосипедиста: $t_1 = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$.
Время второго велосипедиста: $t_2 = 45 \text{ с}$.

Теперь найдем наименьшее общее кратное чисел 60 и 45. Для этого разложим их на простые множители:

$60 = 2 \cdot 30 = 2 \cdot 2 \cdot 15 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$
$45 = 3 \cdot 15 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$

Чтобы найти НОК, нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их:

$НОК(60, 45) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$

Значит, велосипедисты встретятся на старте через 180 секунд. Переведем это время в минуты:

$180 \text{ с} \div 60 \text{ с/мин} = 3 \text{ мин}$

Ответ: через 3 минуты.

Сколько кругов по велотреку при этом сделает каждый из них?

Чтобы найти, сколько кругов проедет каждый велосипедист за это время (180 секунд), разделим общее время на время одного круга для каждого.

Количество кругов первого велосипедиста:

$180 \text{ с} \div 60 \text{ с} = 3 \text{ круга}$

Количество кругов второго велосипедиста:

$180 \text{ с} \div 45 \text{ с} = 4 \text{ круга}$

Ответ: первый велосипедист сделает 3 круга, а второй — 4 круга.