Номер 715, страница 160 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Параграф 26. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное. Упражнения - номер 715, страница 160.

Условие.

715. Используя цифры 2, 3, 4, запишите все возможные двузначные числа (цифры в каждом двузначном числе должны быть различными). Из полученных чисел выпишите пары взаимно простых чисел.

Решение.

Решение 2.

Используя цифры 2, 3, 4, запишите все возможные двузначные числа (цифры в каждом двузначном числе должны быть различными).

Для составления двузначных чисел из цифр 2, 3, 4 с условием, что цифры в числе не повторяются, необходимо перебрать все возможные комбинации для разряда десятков и единиц.

Если цифра десятков равна 2, то цифрой единиц может быть 3 или 4. Получаем числа 23 и 24.

Если цифра десятков равна 3, то цифрой единиц может быть 2 или 4. Получаем числа 32 и 34.

Если цифра десятков равна 4, то цифрой единиц может быть 2 или 3. Получаем числа 42 и 43.

Таким образом, все возможные двузначные числа, составленные из цифр 2, 3, 4 без повторений, это: 23, 24, 32, 34, 42, 43.

Ответ: 23, 24, 32, 34, 42, 43.

Из полученных чисел выпишите пары взаимно простых чисел.

Взаимно простыми называются числа, у которых наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Проверим все возможные пары из списка чисел: {23, 24, 32, 34, 42, 43}.

Для удобства анализа разложим каждое число на простые множители:
$23$ — это простое число;
$24 = 2^3 \cdot 3$;
$32 = 2^5$;
$34 = 2 \cdot 17$;
$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$;
$43$ — это простое число.

Два числа являются взаимно простыми, если в их разложениях на простые множители нет одинаковых множителей.

1. Число 23 — простое. Оно будет взаимно простым со всеми числами из списка, которые на него не делятся, то есть со всеми остальными. Получаем пары: (23, 24), (23, 32), (23, 34), (23, 42), (23, 43).

2. Число 43 — простое. Аналогично, оно будет взаимно простым со всеми остальными числами из списка. Получаем пары (исключая уже найденную пару с 23): (24, 43), (32, 43), (34, 43), (42, 43).

3. Проверим оставшиеся пары, которые состоят только из четных чисел: 24, 32, 34, 42. Каждое из этих чисел имеет в своем разложении множитель 2, поэтому НОД любой пары из этих чисел будет больше 1. Например, $НОД(24, 32) = 8$. Следовательно, среди них нет взаимно простых пар.

Ответ: (23, 24), (23, 32), (23, 34), (23, 42), (23, 43), (24, 43), (32, 43), (34, 43), (42, 43).