Номер 708, страница 160 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Параграф 26. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное. Упражнения - номер 708, страница 160.

Условие.

708. Среди данных пар чисел выберите пары взаимно простых чисел:

1) 14 и 21;

2) 54 и 65;

3) 42 и 55;

4) 14 и 70;

5) 28 и 39;

6) 63 и 42.

Для пар чисел, не являющихся взаимно простыми, укажите наибольший общий делитель.

Решение.

Решение 2.

Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Проверим каждую пару чисел.

1) 14 и 21
Разложим числа на простые множители:
$14 = 2 \cdot 7$
$21 = 3 \cdot 7$
Общий множитель для этих чисел — 7.
Следовательно, $НОД(14, 21) = 7$.
Так как НОД не равен 1, числа не являются взаимно простыми.
Ответ: $НОД(14, 21) = 7$.

2) 54 и 65
Разложим числа на простые множители:
$54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3$
$65 = 5 \cdot 13$
Общих простых множителей у чисел нет.
Следовательно, $НОД(54, 65) = 1$.
Так как НОД равен 1, числа являются взаимно простыми.
Ответ: пара чисел 54 и 65 является взаимно простой.

3) 42 и 55
Разложим числа на простые множители:
$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$
$55 = 5 \cdot 11$
Общих простых множителей у чисел нет.
Следовательно, $НОД(42, 55) = 1$.
Так как НОД равен 1, числа являются взаимно простыми.
Ответ: пара чисел 42 и 55 является взаимно простой.

4) 14 и 70
Разложим числа на простые множители:
$14 = 2 \cdot 7$
$70 = 10 \cdot 7 = 2 \cdot 5 \cdot 7$
Общие множители для этих чисел — 2 и 7.
Следовательно, $НОД(14, 70) = 2 \cdot 7 = 14$.
Так как НОД не равен 1, числа не являются взаимно простыми.
Ответ: $НОД(14, 70) = 14$.

5) 28 и 39
Разложим числа на простые множители:
$28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$
$39 = 3 \cdot 13$
Общих простых множителей у чисел нет.
Следовательно, $НОД(28, 39) = 1$.
Так как НОД равен 1, числа являются взаимно простыми.
Ответ: пара чисел 28 и 39 является взаимно простой.

6) 63 и 42
Разложим числа на простые множители:
$63 = 9 \cdot 7 = 3^2 \cdot 7$
$42 = 6 \cdot 7 = 2 \cdot 3 \cdot 7$
Общие множители для этих чисел — 3 и 7.
Следовательно, $НОД(63, 42) = 3 \cdot 7 = 21$.
Так как НОД не равен 1, числа не являются взаимно простыми.
Ответ: $НОД(63, 42) = 21$.

---

Итого, взаимно простыми являются пары чисел: 2) 54 и 65, 3) 42 и 55, 5) 28 и 39.