Номер 705, страница 159 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Параграф 26. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное. Упражнения - номер 705, страница 159.

Условие.

705. Найдите наибольший общий делитель чисел:

1) 12 и 18;

2) 24 и 30;

3) 6 и 36;

4) 48 и 64;

5) 35 и 18;

6) 14, 21 и 28.

Решение.

Решение 2.

1) 12 и 18;

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) разложим числа 12 и 18 на простые множители.

Разложение числа 12: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$.

Разложение числа 18: $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$.

Общими множителями в разложениях являются 2 и 3. Для нахождения НОД необходимо перемножить общие множители, взяв каждый с наименьшим показателем степени, с которым он входит в оба разложения. Наименьшая степень для 2 - это 1, для 3 - это 1.

НОД(12, 18) = $2^1 \cdot 3^1 = 6$.

Ответ: 6

2) 24 и 30;

Разложим числа 24 и 30 на простые множители.

Разложение числа 24: $24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.

Разложение числа 30: $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.

Общими множителями являются 2 и 3. Наименьшие показатели степени для них - 1.

НОД(24, 30) = $2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: 6

3) 6 и 36;

Разложим числа 6 и 36 на простые множители. Можно также заметить, что 36 делится на 6 без остатка ($36 = 6 \cdot 6$). В таком случае, если одно число делится на другое, то их НОД равен меньшему из этих чисел.

Проверим разложением на множители:

Разложение числа 6: $6 = 2 \cdot 3$.

Разложение числа 36: $36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2$.

Общие множители - 2 и 3. Наименьшие степени - 1 и 1.

НОД(6, 36) = $2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: 6

4) 48 и 64;

Разложим числа 48 и 64 на простые множители.

Разложение числа 48: $48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$.

Разложение числа 64: $64 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6$.

Единственный общий простой множитель - это 2. Наименьшая степень, в которой он входит в оба разложения, - это 4.

НОД(48, 64) = $2^4 = 16$.

Ответ: 16

5) 35 и 18;

Разложим числа 35 и 18 на простые множители.

Разложение числа 35: $35 = 5 \cdot 7$.

Разложение числа 18: $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$.

У этих чисел нет общих простых множителей. Такие числа называются взаимно простыми, и их наибольший общий делитель равен 1.

НОД(35, 18) = 1.

Ответ: 1

6) 14, 21 и 28.

Разложим на простые множители все три числа.

Разложение числа 14: $14 = 2 \cdot 7$.

Разложение числа 21: $21 = 3 \cdot 7$.

Разложение числа 28: $28 = 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$.

Единственный общий простой множитель для всех трех чисел - это 7. Он входит в каждое разложение в первой степени.

НОД(14, 21, 28) = 7.

Ответ: 7