Номер 3, страница 159 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 26. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Раздел I. Натуральные числа и действия над ними - номер 3, страница 159.

3. Чему равен наибольший общий делитель двух чисел, одно из которых кратно другому?

Пусть даны два натуральных числа, которые мы обозначим как $a$ и $b$.

По условию задачи, одно из этих чисел кратно другому. Допустим, что число $a$ кратно числу $b$. Это означает, что $a$ делится на $b$ без остатка. Такое соотношение можно записать в виде формулы: $a = k \cdot b$, где $k$ — некоторое натуральное число ($k \ge 1$).

Нам необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) этих двух чисел. НОД($a$, $b$) — это самое большое натуральное число, на которое делятся и $a$, и $b$.

Рассмотрим множество делителей числа $b$. Любой делитель числа $b$ также будет являться делителем и числа $a$. Докажем это. Пусть $d$ — любой делитель числа $b$. Тогда по определению делителя, $b = m \cdot d$ для некоторого целого числа $m$. Подставим это выражение для $b$ в нашу исходную формулу: $a = k \cdot b = k \cdot (m \cdot d) = (k \cdot m) \cdot d$. Это равенство показывает, что число $a$ также делится на $d$ без остатка.

Таким образом, любой делитель числа $b$ является также и делителем числа $a$. Это означает, что множество всех общих делителей чисел $a$ и $b$ полностью совпадает с множеством всех делителей числа $b$.

Наибольший общий делитель — это самый большой из всех общих делителей. Поскольку множество общих делителей совпадает с множеством делителей числа $b$, нам нужно найти самый большой делитель числа $b$. Наибольшим делителем любого натурального числа является само это число.

Следовательно, НОД($a$, $b$) = $b$.

Из условия $a = k \cdot b$ (где $k \ge 1$) следует, что $a \ge b$. Таким образом, число $b$ является меньшим из двух чисел (или равным, если $k=1$).

Пример: Возьмем числа 36 и 12. Число 36 кратно 12, так как $36 = 3 \cdot 12$. Делители числа 12: {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Делители числа 36: {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}. Общие делители: {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Наибольший из общих делителей — 12. НОД(36, 12) = 12. Как мы и доказали, НОД равен меньшему из двух чисел.

Ответ: Наибольший общий делитель двух чисел, одно из которых кратно другому, равен меньшему из этих чисел.