Номер 704, страница 157 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Параграф 25. Простые и составные числа. Упражнения - номер 704, страница 157.

Условие.

Задача от мудрой совы

704. Шахматный конь начинает свой маршрут в левом нижнем углу доски, а заканчивает его в правом верхнем углу. Может ли конь при этом побывать на всех полях доски по одному разу?

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи воспользуемся методом раскраски. Шахматная доска состоит из 64 полей — 32 белых и 32 черных.

Ключевое свойство хода коня заключается в том, что он всегда перемещается с поля одного цвета на поле другого цвета. Например, с белого на черное или с черного на белое.

Маршрут, при котором конь побывает на всех полях доски по одному разу, будет состоять из 64 полей. Это означает, что конь сделает 63 хода.

Проследим за цветом полей в таком маршруте:

• 1-е поле (начальное) — имеет определенный цвет.
• 2-е поле (после 1-го хода) — будет другого цвета.
• 3-е поле (после 2-го хода) — будет того же цвета, что и начальное.
• 4-е поле (после 3-го хода) — будет другого цвета.

Можно заметить, что все нечетные по номеру в маршруте поля (1-е, 3-е, 5-е, ...) будут иметь тот же цвет, что и начальное поле. А все четные поля (2-е, 4-е, 6-е, ...) будут иметь противоположный цвет.

В нашей задаче конь начинает маршрут в левом нижнем углу (поле a1) и должен закончить его в правом верхнем углу (поле h8).

Поле a1 — черное. Поскольку конь должен обойти все 64 поля, его маршрут будет состоять из 64 шагов. Последнее, 64-е поле в этом маршруте, имеет четный номер. Следовательно, если конь начинает с черного поля, то 64-е поле в его маршруте должно быть белым.

Однако поле h8, где конь должен закончить свой путь, является черным (так же, как и a1).

Таким образом, возникает противоречие. Чтобы обойти все 64 клетки, начиная с черной клетки a1, конь должен закончить маршрут на белой клетке. Но задача требует, чтобы он закончил на черной клетке h8. Это невозможно.

Ответ: Нет, не может.