Номер 5, страница 159 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 26. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Раздел I. Натуральные числа и действия над ними - номер 5, страница 159.

5. Чему равно наименьшее общее кратное двух чисел, одно из которых является делителем другого?

Для ответа на этот вопрос давайте сначала разберем основные понятия.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел $a$ и $b$ — это наименьшее натуральное число, которое делится нацело и на $a$, и на $b$. Обозначается как НОК($a$, $b$).

Делитель: число $a$ является делителем числа $b$, если $b$ можно разделить на $a$ без остатка. Это значит, что существует такое натуральное число $k$, что выполняется равенство $b = k \cdot a$. Из этого равенства также следует, что $b \ge a$. Число $b$ в этом случае называется кратным для числа $a$.

В условии задачи даны два числа, одно из которых является делителем другого. Обозначим эти числа как $a$ и $b$. Пусть для определенности число $a$ является делителем числа $b$. Тогда, согласно определению, $b$ делится на $a$ без остатка.

Нам необходимо найти НОК($a$, $b$). По определению НОК, искомое число должно быть кратно как $a$, так и $b$. Давайте проверим, подходит ли число $b$ на роль общего кратного:

1. Делится ли $b$ на $a$? Да, это следует из условия, что $a$ — делитель $b$.
2. Делится ли $b$ на $b$? Да, любое число делится само на себя ($b = 1 \cdot b$).

Таким образом, число $b$ является общим кратным для чисел $a$ и $b$.

Теперь выясним, является ли $b$ наименьшим общим кратным. Любое общее кратное чисел $a$ и $b$ по определению должно делиться на $b$. Наименьшим натуральным числом, которое делится на $b$, является само число $b$. Все остальные числа, кратные $b$ (например, $2b$, $3b$ и т.д.), будут больше, чем $b$.

Следовательно, так как $b$ является общим кратным для $a$ и $b$ и одновременно наименьшим из всех возможных кратных числа $b$, то оно и будет наименьшим общим кратным для пары чисел $a$ и $b$.

Пример:
Возьмем числа 7 и 21. Число 7 является делителем числа 21, так как $21 = 3 \cdot 7$.
Найдем НОК(7, 21).
Кратные числа 7: 7, 14, 21, 28, 35, 42, ...
Кратные числа 21: 21, 42, 63, ...
Общими кратными являются числа 21, 42, и т.д. Наименьшее из них — 21. Это большее из двух исходных чисел.

Таким образом, если одно из двух чисел является делителем другого, то их наименьшее общее кратное равно большему из этих двух чисел (то есть тому числу, которое является кратным).

Ответ: Наименьшее общее кратное этих двух чисел равно большему из них (тому, которое делится на другое).