Номер 706, страница 159 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Параграф 26. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное. Упражнения - номер 706, страница 159.

Условие.

706. Найдите наибольший общий делитель чисел:

1) $16$ и $24$;

2) $15$ и $60$;

3) $10$ и $15$;

4) $45$ и $56$;

5) $21$ и $49$;

6) $12$, $18$ и $24$.

Решение.

Решение 2.

1) 16 и 24
Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел, разложим их на простые множители.
Разложение числа 16: $16 = 2 \times 8 = 2 \times 2 \times 4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4$.
Разложение числа 24: $24 = 2 \times 12 = 2 \times 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3$.
Теперь найдем общие простые множители в этих разложениях и возьмем каждый из них в наименьшей степени, в которой он встречается.
Общий множитель — 2. Наименьшая степень для 2 — это 3 (из разложения $2^3 \times 3$).
Следовательно, НОД(16, 24) = $2^3 = 8$.
Ответ: 8

2) 15 и 60
Заметим, что число 60 делится на 15 без остатка: $60 \div 15 = 4$. Если одно из чисел делится на другое, то меньшее из этих чисел и является их наибольшим общим делителем.
Таким образом, НОД(15, 60) = 15.
Этот же результат можно получить, разложив числа на простые множители:
$15 = 3 \times 5$
$60 = 2 \times 30 = 2 \times 2 \times 15 = 2^2 \times 3 \times 5$
Общие множители: 3 и 5. В обоих разложениях они стоят в первой степени.
НОД(15, 60) = $3 \times 5 = 15$.
Ответ: 15

3) 10 и 15
Разложим числа на простые множители:
$10 = 2 \times 5$
$15 = 3 \times 5$
Единственный общий простой множитель — это 5.
Следовательно, НОД(10, 15) = 5.
Ответ: 5

4) 45 и 56
Разложим числа на простые множители:
$45 = 5 \times 9 = 5 \times 3^2$
$56 = 7 \times 8 = 7 \times 2^3$
В разложениях этих чисел нет общих простых множителей. Такие числа называются взаимно простыми, и их наибольший общий делитель равен 1.
НОД(45, 56) = 1.
Ответ: 1

5) 21 и 49
Разложим числа на простые множители:
$21 = 3 \times 7$
$49 = 7 \times 7 = 7^2$
Общий простой множитель — 7. Наименьшая степень, в которой он встречается, — первая (в разложении числа 21).
НОД(21, 49) = 7.
Ответ: 7

6) 12, 18 и 24
Разложим все три числа на простые множители:
$12 = 2 \times 6 = 2^2 \times 3$
$18 = 2 \times 9 = 2 \times 3^2$
$24 = 3 \times 8 = 3 \times 2^3$
Найдем общие простые множители для всех трех чисел и выберем для каждого наименьшую степень.
Общий множитель 2. Наименьшая степень: $2^1$ (в разложении числа 18).
Общий множитель 3. Наименьшая степень: $3^1$ (в разложениях чисел 12 и 24).
Перемножим эти множители: НОД(12, 18, 24) = $2^1 \times 3^1 = 6$.
Ответ: 6