Номер 712, страница 160 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Параграф 26. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное. Упражнения - номер 712, страница 160.

Условие.

712. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

1) 6 и 10;

2) 9 и 12;

3) 14 и 28;

4) 8 и 9;

5) 32 и 48;

6) 8, 9 и 15.

Решение.

Решение 2.

1) 6 и 10;
Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК), разложим числа 6 и 10 на простые множители:
$6 = 2 \cdot 3$
$10 = 2 \cdot 5$
Для нахождения НОК нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их.
Наибольшая степень для 2 это $2^1$.
Наибольшая степень для 3 это $3^1$.
Наибольшая степень для 5 это $5^1$.
$НОК(6, 10) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.
Ответ: 30

2) 9 и 12;
Разложим числа 9 и 12 на простые множители:
$9 = 3 \cdot 3 = 3^2$
$12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
Возьмем каждый простой множитель в наивысшей степени из обоих разложений и перемножим их.
Наибольшая степень для 2 это $2^2$.
Наибольшая степень для 3 это $3^2$.
$НОК(9, 12) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.
Ответ: 36

3) 14 и 28;
Число 28 делится на 14 без остатка ($28 : 14 = 2$). Если одно из двух натуральных чисел делится на другое, то большее из этих чисел является их наименьшим общим кратным.
$НОК(14, 28) = 28$.
Ответ: 28

4) 8 и 9;
Разложим числа 8 и 9 на простые множители:
$8 = 2^3$
$9 = 3^2$
Эти числа не имеют общих простых делителей, они взаимно простые. Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению.
$НОК(8, 9) = 8 \cdot 9 = 72$.
Ответ: 72

5) 32 и 48;
Разложим числа 32 и 48 на простые множители:
$32 = 2 \cdot 16 = 2 \cdot 2 \cdot 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4 = 2^5$
$48 = 2 \cdot 24 = 2 \cdot 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2^4 \cdot 3$
Возьмем каждый простой множитель в наивысшей степени из обоих разложений и перемножим их.
Наибольшая степень для 2 это $2^5$.
Наибольшая степень для 3 это $3^1$.
$НОК(32, 48) = 2^5 \cdot 3 = 32 \cdot 3 = 96$.
Ответ: 96

6) 8, 9 и 15.
Разложим числа 8, 9 и 15 на простые множители:
$8 = 2 \cdot 4 = 2^3$
$9 = 3 \cdot 3 = 3^2$
$15 = 3 \cdot 5$
Возьмем каждый простой множитель в наивысшей степени из всех разложений и перемножим их.
Наибольшая степень для 2 это $2^3$.
Наибольшая степень для 3 это $3^2$.
Наибольшая степень для 5 это $5^1$.
$НОК(8, 9, 15) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 8 \cdot 9 \cdot 5 = 72 \cdot 5 = 360$.
Ответ: 360