Номер 719, страница 160 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Параграф 26. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное. Упражнения - номер 719, страница 160.

Условие.

719. Дима и Петя отправились в поход из одного пункта в одном направ-лении. Петя делал остановку для отдыха через каждые 2400 м, а Дима — через каждые 2800 м. На каком наименьшем расстоянии от пункта отправления места их остановок совпадут?

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы найти наименьшее расстояние от пункта отправления, на котором места остановок Димы и Пети совпадут, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел, соответствующих расстояниям, через которые они делают остановки. Петя делает остановку через каждые 2400 м, а Дима — через каждые 2800 м. Следовательно, задача сводится к нахождению $НОК(2400, 2800)$.

Для этого разложим оба числа на простые множители:
$2400 = 24 \cdot 100 = (8 \cdot 3) \cdot (10 \cdot 10) = (2^3 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5^2 = 2^5 \cdot 3 \cdot 5^2$
$2800 = 28 \cdot 100 = (4 \cdot 7) \cdot (10 \cdot 10) = (2^2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 7 \cdot 2^2 \cdot 5^2 = 2^4 \cdot 5^2 \cdot 7$

Теперь найдем НОК. Для этого нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их.
Простые множители в разложениях: 2, 3, 5, 7.
Наибольшая степень для 2 это $2^5$.
Наибольшая степень для 3 это $3^1$.
Наибольшая степень для 5 это $5^2$.
Наибольшая степень для 7 это $7^1$.
$НОК(2400, 2800) = 2^5 \cdot 3^1 \cdot 5^2 \cdot 7^1 = 32 \cdot 3 \cdot 25 \cdot 7 = 16800$.

Таким образом, наименьшее расстояние от пункта отправления, на котором места их остановок совпадут, составляет 16800 метров.
Ответ: 16800 м.