Номер 719, страница 160 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 26. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Раздел I. Натуральные числа и действия над ними - номер 719, страница 160.

719. Дима и Петя отправились в поход из одного пункта в одном направ-лении. Петя делал остановку для отдыха через каждые 2400 м, а Дима — через каждые 2800 м. На каком наименьшем расстоянии от пункта отправления места их остановок совпадут?

Для того чтобы найти наименьшее расстояние от пункта отправления, на котором места остановок Димы и Пети совпадут, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел, соответствующих расстояниям, через которые они делают остановки. Петя делает остановку через каждые 2400 м, а Дима — через каждые 2800 м. Следовательно, задача сводится к нахождению $НОК(2400, 2800)$.

Для этого разложим оба числа на простые множители:
$2400 = 24 \cdot 100 = (8 \cdot 3) \cdot (10 \cdot 10) = (2^3 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5^2 = 2^5 \cdot 3 \cdot 5^2$
$2800 = 28 \cdot 100 = (4 \cdot 7) \cdot (10 \cdot 10) = (2^2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 7 \cdot 2^2 \cdot 5^2 = 2^4 \cdot 5^2 \cdot 7$

Теперь найдем НОК. Для этого нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их.
Простые множители в разложениях: 2, 3, 5, 7.
Наибольшая степень для 2 это $2^5$.
Наибольшая степень для 3 это $3^1$.
Наибольшая степень для 5 это $5^2$.
Наибольшая степень для 7 это $7^1$.
$НОК(2400, 2800) = 2^5 \cdot 3^1 \cdot 5^2 \cdot 7^1 = 32 \cdot 3 \cdot 25 \cdot 7 = 16800$.

Таким образом, наименьшее расстояние от пункта отправления, на котором места их остановок совпадут, составляет 16800 метров.
Ответ: 16800 м.