Страница 160 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

707. Являются ли взаимно простыми числа:

1) 10 и 15;

2) 8 и 12;

3) 14 и 15;

4) 6 и 11?

Два натуральных числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Чтобы определить, являются ли данные пары чисел взаимно простыми, найдем их НОД для каждой пары.

1) 10 и 15

Найдем наибольший общий делитель (НОД) для чисел 10 и 15. Для этого разложим их на простые множители:
$10 = 2 \cdot 5$
$15 = 3 \cdot 5$
Общий простой множитель у этих чисел — 5. Следовательно, $НОД(10, 15) = 5$.
Поскольку НОД не равен 1, числа 10 и 15 не являются взаимно простыми.
Ответ: нет.

2) 8 и 12

Найдем НОД для чисел 8 и 12. Разложим их на простые множители:
$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
Общие множители — это $2 \cdot 2$. Следовательно, $НОД(8, 12) = 4$.
Поскольку НОД не равен 1, числа 8 и 12 не являются взаимно простыми.
Ответ: нет.

3) 14 и 15

Найдем НОД для чисел 14 и 15. Разложим их на простые множители:
$14 = 2 \cdot 7$
$15 = 3 \cdot 5$
У чисел 14 и 15 нет общих простых множителей. Их единственный общий делитель — это 1. Следовательно, $НОД(14, 15) = 1$.
Поскольку НОД равен 1, числа 14 и 15 являются взаимно простыми.
Ответ: да.

4) 6 и 11

Найдем НОД для чисел 6 и 11. Разложим 6 на простые множители:
$6 = 2 \cdot 3$
Число 11 само по себе является простым, оно делится только на 1 и на себя.
У чисел 6 и 11 нет общих простых множителей. Их единственный общий делитель — это 1. Следовательно, $НОД(6, 11) = 1$.
Поскольку НОД равен 1, числа 6 и 11 являются взаимно простыми.
Ответ: да.

708. Среди данных пар чисел выберите пары взаимно простых чисел:

1) 14 и 21;

2) 54 и 65;

3) 42 и 55;

4) 14 и 70;

5) 28 и 39;

6) 63 и 42.

Для пар чисел, не являющихся взаимно простыми, укажите наибольший общий делитель.

Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Проверим каждую пару чисел.

1) 14 и 21
Разложим числа на простые множители:
$14 = 2 \cdot 7$
$21 = 3 \cdot 7$
Общий множитель для этих чисел — 7.
Следовательно, $НОД(14, 21) = 7$.
Так как НОД не равен 1, числа не являются взаимно простыми.
Ответ: $НОД(14, 21) = 7$.

2) 54 и 65
Разложим числа на простые множители:
$54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3$
$65 = 5 \cdot 13$
Общих простых множителей у чисел нет.
Следовательно, $НОД(54, 65) = 1$.
Так как НОД равен 1, числа являются взаимно простыми.
Ответ: пара чисел 54 и 65 является взаимно простой.

3) 42 и 55
Разложим числа на простые множители:
$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$
$55 = 5 \cdot 11$
Общих простых множителей у чисел нет.
Следовательно, $НОД(42, 55) = 1$.
Так как НОД равен 1, числа являются взаимно простыми.
Ответ: пара чисел 42 и 55 является взаимно простой.

4) 14 и 70
Разложим числа на простые множители:
$14 = 2 \cdot 7$
$70 = 10 \cdot 7 = 2 \cdot 5 \cdot 7$
Общие множители для этих чисел — 2 и 7.
Следовательно, $НОД(14, 70) = 2 \cdot 7 = 14$.
Так как НОД не равен 1, числа не являются взаимно простыми.
Ответ: $НОД(14, 70) = 14$.

5) 28 и 39
Разложим числа на простые множители:
$28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$
$39 = 3 \cdot 13$
Общих простых множителей у чисел нет.
Следовательно, $НОД(28, 39) = 1$.
Так как НОД равен 1, числа являются взаимно простыми.
Ответ: пара чисел 28 и 39 является взаимно простой.

6) 63 и 42
Разложим числа на простые множители:
$63 = 9 \cdot 7 = 3^2 \cdot 7$
$42 = 6 \cdot 7 = 2 \cdot 3 \cdot 7$
Общие множители для этих чисел — 3 и 7.
Следовательно, $НОД(63, 42) = 3 \cdot 7 = 21$.
Так как НОД не равен 1, числа не являются взаимно простыми.
Ответ: $НОД(63, 42) = 21$.

Итого, взаимно простыми являются пары чисел: 2) 54 и 65, 3) 42 и 55, 5) 28 и 39.

709. В магазине комплектуют одинаковые наборы из 96 пачек печенья и 64 пачек вафель. Какое наибольшее количество таких наборов можно создать? Сколько пачек печенья и сколько пачек вафель будет в каждом наборе?

Какое наибольшее количество таких наборов можно создать?

Чтобы найти наибольшее возможное количество одинаковых наборов, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 96 (количество пачек печенья) и 64 (количество пачек вафель). Этот делитель покажет максимальное число наборов, на которое можно разделить и печенье, и вафли без остатка.

1. Разложим числа 96 и 64 на простые множители:

$96 = 2 \cdot 48 = 2 \cdot 2 \cdot 24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3$

$64 = 2 \cdot 32 = 2 \cdot 2 \cdot 16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6$

2. Найдем общие множители в наименьшей степени. Общим множителем является 2, а его наименьшая степень в разложениях – 5.

3. Вычислим НОД:

$НОД(96, 64) = 2^5 = 32$

Следовательно, можно создать 32 одинаковых набора.

Ответ: 32 набора.

Сколько пачек печенья и сколько пачек вафель будет в каждом наборе?

Чтобы определить состав каждого набора, разделим общее количество пачек каждого продукта на количество наборов (32).

1. Количество пачек печенья в одном наборе:

$96 \div 32 = 3$ (пачки печенья)

2. Количество пачек вафель в одном наборе:

$64 \div 32 = 2$ (пачки вафель)

Таким образом, в каждом наборе будет 3 пачки печенья и 2 пачки вафель.

Ответ: 3 пачки печенья и 2 пачки вафель.

710. Необходимо из 92 толковых и 138 орфографических словарей создать одинаковые комплекты для школьных библиотек. Какое наибольшее количество комплектов можно создать? Сколько словарей каждого вида будет в одном комплекте?

Для того чтобы создать одинаковые комплекты из имеющихся словарей, количество комплектов должно быть общим делителем для числа толковых словарей (92) и числа орфографических словарей (138). Чтобы найти наибольшее возможное количество комплектов, необходимо вычислить наибольший общий делитель (НОД) этих двух чисел.

Сначала разложим числа 92 и 138 на простые множители:
$92 = 2 \cdot 46 = 2 \cdot 2 \cdot 23 = 2^2 \cdot 23$
$138 = 2 \cdot 69 = 2 \cdot 3 \cdot 23$

Теперь найдем НОД, перемножив общие простые множители (в данном случае это 2 и 23), взятые с наименьшим показателем степени:
НОД(92, 138) = $2^1 \cdot 23^1 = 46$.

Какое наибольшее количество комплектов можно создать?

Наибольшее количество комплектов, которое можно создать, равно НОД(92, 138).
Ответ: 46 комплектов.

Сколько словарей каждого вида будет в одном комплекте?

Чтобы определить состав одного комплекта, разделим общее количество словарей каждого вида на найденное количество комплектов (46):
1. Количество толковых словарей в одном комплекте: $92 \div 46 = 2$ (словаря).
2. Количество орфографических словарей в одном комплекте: $138 \div 46 = 3$ (словаря).
Ответ: в одном комплекте будет 2 толковых и 3 орфографических словаря.

711. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

1) $8$ и $12$;

2) $12$ и $16$;

3) $6$ и $12$;

4) $10$ и $21$;

5) $24$ и $36$;

6) $6$, $8$ и $12$.

1) 8 и 12;

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел, разложим их на простые множители.
Разложение числа 8: $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$.
Разложение числа 12: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$.
Для нахождения НОК нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их. В данном случае это $2^3$ и $3^1$.
НОК(8, 12) = $2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.
Ответ: 24.

2) 12 и 16;

Разложим числа 12 и 16 на простые множители.
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$.
$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$.
Возьмем каждый простой множитель в наибольшей степени из разложений ($2^4$ и $3^1$) и перемножим их.
НОК(12, 16) = $2^4 \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48$.
Ответ: 48.

3) 6 и 12;

Число 12 является кратным числу 6, так как $12 : 6 = 2$. Если одно из чисел делится нацело на другое, то наименьшее общее кратное этих чисел равно большему из них.
Следовательно, НОК(6, 12) = 12.
Ответ: 12.

4) 10 и 21;

Разложим числа 10 и 21 на простые множители.
$10 = 2 \cdot 5$.
$21 = 3 \cdot 7$.
У этих чисел нет общих простых множителей, поэтому они являются взаимно простыми. Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению.
НОК(10, 21) = $10 \cdot 21 = 210$.
Ответ: 210.

5) 24 и 36;

Разложим числа 24 и 36 на простые множители.
$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.
$36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2$.
Возьмем каждый простой множитель в наибольшей степени из разложений ($2^3$ и $3^2$) и перемножим их.
НОК(24, 36) = $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$.
Ответ: 72.

6) 6, 8 и 12.

Разложим числа 6, 8 и 12 на простые множители.
$6 = 2 \cdot 3$.
$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$.
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$.
Возьмем каждый простой множитель в наибольшей степени из всех разложений ($2^3$ и $3^1$) и перемножим их.
НОК(6, 8, 12) = $2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.
Ответ: 24.

712. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

1) 6 и 10;

2) 9 и 12;

3) 14 и 28;

4) 8 и 9;

5) 32 и 48;

6) 8, 9 и 15.

1) 6 и 10;
Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК), разложим числа 6 и 10 на простые множители:
$6 = 2 \cdot 3$
$10 = 2 \cdot 5$
Для нахождения НОК нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их.
Наибольшая степень для 2 это $2^1$.
Наибольшая степень для 3 это $3^1$.
Наибольшая степень для 5 это $5^1$.
$НОК(6, 10) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.
Ответ: 30

2) 9 и 12;
Разложим числа 9 и 12 на простые множители:
$9 = 3 \cdot 3 = 3^2$
$12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
Возьмем каждый простой множитель в наивысшей степени из обоих разложений и перемножим их.
Наибольшая степень для 2 это $2^2$.
Наибольшая степень для 3 это $3^2$.
$НОК(9, 12) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.
Ответ: 36

3) 14 и 28;
Число 28 делится на 14 без остатка ($28 : 14 = 2$). Если одно из двух натуральных чисел делится на другое, то большее из этих чисел является их наименьшим общим кратным.
$НОК(14, 28) = 28$.
Ответ: 28

4) 8 и 9;
Разложим числа 8 и 9 на простые множители:
$8 = 2^3$
$9 = 3^2$
Эти числа не имеют общих простых делителей, они взаимно простые. Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению.
$НОК(8, 9) = 8 \cdot 9 = 72$.
Ответ: 72

5) 32 и 48;
Разложим числа 32 и 48 на простые множители:
$32 = 2 \cdot 16 = 2 \cdot 2 \cdot 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4 = 2^5$
$48 = 2 \cdot 24 = 2 \cdot 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2^4 \cdot 3$
Возьмем каждый простой множитель в наивысшей степени из обоих разложений и перемножим их.
Наибольшая степень для 2 это $2^5$.
Наибольшая степень для 3 это $3^1$.
$НОК(32, 48) = 2^5 \cdot 3 = 32 \cdot 3 = 96$.
Ответ: 96

6) 8, 9 и 15.
Разложим числа 8, 9 и 15 на простые множители:
$8 = 2 \cdot 4 = 2^3$
$9 = 3 \cdot 3 = 3^2$
$15 = 3 \cdot 5$
Возьмем каждый простой множитель в наивысшей степени из всех разложений и перемножим их.
Наибольшая степень для 2 это $2^3$.
Наибольшая степень для 3 это $3^2$.
Наибольшая степень для 5 это $5^1$.
$НОК(8, 9, 15) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 8 \cdot 9 \cdot 5 = 72 \cdot 5 = 360$.
Ответ: 360

713. Составьте все пары взаимно простых чисел из чисел 12, 14, 25, 33.

Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Чтобы найти все пары взаимно простых чисел из данного набора {12, 14, 25, 33}, сначала разложим каждое число на простые множители.

• $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
• $14 = 2 \cdot 7$
• $25 = 5 \cdot 5 = 5^2$
• $33 = 3 \cdot 11$

Теперь последовательно проверим все возможные пары чисел. Два числа будут взаимно простыми, если в их разложениях на простые множители нет одинаковых чисел.

Пара 12 и 14
Разложение числа 12 ($2^2 \cdot 3$) и числа 14 ($2 \cdot 7$) содержит общий множитель 2. Следовательно, НОД(12, 14) = 2. Эти числа не являются взаимно простыми.

Пара 12 и 25
Разложение числа 12 ($2^2 \cdot 3$) и числа 25 ($5^2$) не содержит общих множителей. Следовательно, НОД(12, 25) = 1. Эта пара является взаимно простой.

Пара 12 и 33
Разложение числа 12 ($2^2 \cdot 3$) и числа 33 ($3 \cdot 11$) содержит общий множитель 3. Следовательно, НОД(12, 33) = 3. Эти числа не являются взаимно простыми.

Пара 14 и 25
Разложение числа 14 ($2 \cdot 7$) и числа 25 ($5^2$) не содержит общих множителей. Следовательно, НОД(14, 25) = 1. Эта пара является взаимно простой.

Пара 14 и 33
Разложение числа 14 ($2 \cdot 7$) и числа 33 ($3 \cdot 11$) не содержит общих множителей. Следовательно, НОД(14, 33) = 1. Эта пара является взаимно простой.

Пара 25 и 33
Разложение числа 25 ($5^2$) и числа 33 ($3 \cdot 11$) не содержит общих множителей. Следовательно, НОД(25, 33) = 1. Эта пара является взаимно простой.

Таким образом, мы нашли все искомые пары.

Ответ: (12; 25), (14; 25), (14; 33), (25; 33).

714. Составьте все пары взаимно простых чисел из чисел 15, 16, 21, 77.

Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Это означает, что у них нет общих простых делителей. Чтобы найти все пары взаимно простых чисел из набора {15, 16, 21, 77}, необходимо проверить каждую возможную пару.

Сначала разложим все числа на простые множители:

• $15 = 3 \cdot 5$
• $16 = 2^4$
• $21 = 3 \cdot 7$
• $77 = 7 \cdot 11$

Теперь последовательно проверим все пары чисел на наличие общих простых делителей.

Пара (15, 16)

Простые делители числа 15: {3, 5}. Простые делители числа 16: {2}. Общих простых делителей нет. Следовательно, числа 15 и 16 являются взаимно простыми.

Пара (15, 21)

Простые делители числа 15: {3, 5}. Простые делители числа 21: {3, 7}. Есть общий простой делитель 3. Следовательно, числа не являются взаимно простыми.

Пара (15, 77)

Простые делители числа 15: {3, 5}. Простые делители числа 77: {7, 11}. Общих простых делителей нет. Следовательно, числа 15 и 77 являются взаимно простыми.

Пара (16, 21)

Простые делители числа 16: {2}. Простые делители числа 21: {3, 7}. Общих простых делителей нет. Следовательно, числа 16 и 21 являются взаимно простыми.

Пара (16, 77)

Простые делители числа 16: {2}. Простые делители числа 77: {7, 11}. Общих простых делителей нет. Следовательно, числа 16 и 77 являются взаимно простыми.

Пара (21, 77)

Простые делители числа 21: {3, 7}. Простые делители числа 77: {7, 11}. Есть общий простой делитель 7. Следовательно, числа не являются взаимно простыми.

Ответ: (15, 16), (15, 77), (16, 21), (16, 77).

715. Используя цифры 2, 3, 4, запишите все возможные двузначные числа (цифры в каждом двузначном числе должны быть различными). Из полученных чисел выпишите пары взаимно простых чисел.

Используя цифры 2, 3, 4, запишите все возможные двузначные числа (цифры в каждом двузначном числе должны быть различными).

Для составления двузначных чисел из цифр 2, 3, 4 с условием, что цифры в числе не повторяются, необходимо перебрать все возможные комбинации для разряда десятков и единиц.

Если цифра десятков равна 2, то цифрой единиц может быть 3 или 4. Получаем числа 23 и 24.

Если цифра десятков равна 3, то цифрой единиц может быть 2 или 4. Получаем числа 32 и 34.

Если цифра десятков равна 4, то цифрой единиц может быть 2 или 3. Получаем числа 42 и 43.

Таким образом, все возможные двузначные числа, составленные из цифр 2, 3, 4 без повторений, это: 23, 24, 32, 34, 42, 43.

Ответ: 23, 24, 32, 34, 42, 43.

Из полученных чисел выпишите пары взаимно простых чисел.

Взаимно простыми называются числа, у которых наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Проверим все возможные пары из списка чисел: {23, 24, 32, 34, 42, 43}.

Для удобства анализа разложим каждое число на простые множители:
$23$ — это простое число;
$24 = 2^3 \cdot 3$;
$32 = 2^5$;
$34 = 2 \cdot 17$;
$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$;
$43$ — это простое число.

Два числа являются взаимно простыми, если в их разложениях на простые множители нет одинаковых множителей.

1. Число 23 — простое. Оно будет взаимно простым со всеми числами из списка, которые на него не делятся, то есть со всеми остальными. Получаем пары: (23, 24), (23, 32), (23, 34), (23, 42), (23, 43).

2. Число 43 — простое. Аналогично, оно будет взаимно простым со всеми остальными числами из списка. Получаем пары (исключая уже найденную пару с 23): (24, 43), (32, 43), (34, 43), (42, 43).

3. Проверим оставшиеся пары, которые состоят только из четных чисел: 24, 32, 34, 42. Каждое из этих чисел имеет в своем разложении множитель 2, поэтому НОД любой пары из этих чисел будет больше 1. Например, $НОД(24, 32) = 8$. Следовательно, среди них нет взаимно простых пар.

Ответ: (23, 24), (23, 32), (23, 34), (23, 42), (23, 43), (24, 43), (32, 43), (34, 43), (42, 43).

716. Между учениками 5 класса поделили поровну 155 тетрадей и 62 ручки. Сколько в этом классе учеников?

Пусть количество учеников в классе равно $x$.

Согласно условию, 155 тетрадей и 62 ручки были разделены между учениками поровну. Это значит, что число 155 должно делиться нацело на $x$, и число 62 также должно делиться нацело на $x$. Следовательно, $x$ является общим делителем чисел 155 и 62.

Чтобы найти $x$, нужно найти все общие делители этих чисел. Для этого разложим каждое число на простые множители.

Разложение числа 155 на простые множители: $155 = 5 \cdot 31$

Делителями числа 155 являются: 1, 5, 31, 155.

Разложение числа 62 на простые множители: $62 = 2 \cdot 31$

Делителями числа 62 являются: 1, 2, 31, 62.

Теперь найдем общие делители для чисел 155 и 62. Сравнив списки делителей, мы видим, что общими являются числа 1 и 31.

По смыслу задачи, в классе не может быть 1 ученик (поскольку в условии используется множественное число "учениками"). Поэтому единственным возможным вариантом является 31 ученик.

Проверим:
Каждый из 31 ученика получит $155 / 31 = 5$ тетрадей.
Каждый из 31 ученика получит $62 / 31 = 2$ ручки.
Условия задачи выполняются.

Ответ: 31.

717. Длина шага малышки Оли равна 15 см, а её старшего брата Гены — 50 см. Какое наименьшее одинаковое расстояние должен пройти каждый из них, чтобы они оба сделали по целому числу шагов?

Пусть $S$ - искомое расстояние в сантиметрах. По условию задачи, Оля и Гена должны пройти одинаковое расстояние, сделав при этом целое число шагов. Это означает, что расстояние $S$ должно делиться нацело как на длину шага Оли, так и на длину шага Гены.

Длина шага Оли равна 15 см.
Длина шага Гены равна 50 см.

Следовательно, расстояние $S$ должно быть общим кратным чисел 15 и 50. Поскольку в задаче требуется найти наименьшее одинаковое расстояние, нам необходимо найти Наименьшее Общее Кратное (НОК) этих двух чисел.

Для нахождения НОК(15, 50) разложим числа 15 и 50 на простые множители:
$15 = 3 \cdot 5$
$50 = 2 \cdot 25 = 2 \cdot 5^2$

Чтобы найти НОК, нужно выписать все простые множители, входящие в разложения, в наибольшей встречающейся степени и перемножить их:
$НОК(15, 50) = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^2 = 2 \cdot 3 \cdot 25 = 150$

Таким образом, наименьшее расстояние, которое они должны пройти, составляет 150 см.
При этом Оля сделает $150 / 15 = 10$ шагов.
А Гена сделает $150 / 50 = 3$ шага.
Оба числа шагов являются целыми, что соответствует условию задачи.

Ответ: 150 см.

718. С одного места в одном направлении по велотреку одновременно стартовали два велосипедиста. Один из них делает круг за 1 мин, а другой — за 45 с. Через какое наименьшее количество минут после начала движения они одновременно окажутся в месте старта? Сколько кругов по велотреку при этом сделает каждый из них?

Чтобы велосипедисты снова оказались в месте старта одновременно, должно пройти время, которое будет кратно времени прохождения круга для каждого из них. Нам нужно найти наименьшее такое время, то есть наименьшее общее кратное (НОК) их времен.

Через какое наименьшее количество минут после начала движения они одновременно окажутся в месте старта?

Сначала приведем время прохождения круга к одной единице измерения — секундам.

Время первого велосипедиста: $t_1 = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$.
Время второго велосипедиста: $t_2 = 45 \text{ с}$.

Теперь найдем наименьшее общее кратное чисел 60 и 45. Для этого разложим их на простые множители:

$60 = 2 \cdot 30 = 2 \cdot 2 \cdot 15 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$
$45 = 3 \cdot 15 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$

Чтобы найти НОК, нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их:

$НОК(60, 45) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$

Значит, велосипедисты встретятся на старте через 180 секунд. Переведем это время в минуты:

$180 \text{ с} \div 60 \text{ с/мин} = 3 \text{ мин}$

Ответ: через 3 минуты.

Сколько кругов по велотреку при этом сделает каждый из них?

Чтобы найти, сколько кругов проедет каждый велосипедист за это время (180 секунд), разделим общее время на время одного круга для каждого.

Количество кругов первого велосипедиста:

$180 \text{ с} \div 60 \text{ с} = 3 \text{ круга}$

Количество кругов второго велосипедиста:

$180 \text{ с} \div 45 \text{ с} = 4 \text{ круга}$

Ответ: первый велосипедист сделает 3 круга, а второй — 4 круга.

719. Дима и Петя отправились в поход из одного пункта в одном направ-лении. Петя делал остановку для отдыха через каждые 2400 м, а Дима — через каждые 2800 м. На каком наименьшем расстоянии от пункта отправления места их остановок совпадут?

Для того чтобы найти наименьшее расстояние от пункта отправления, на котором места остановок Димы и Пети совпадут, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел, соответствующих расстояниям, через которые они делают остановки. Петя делает остановку через каждые 2400 м, а Дима — через каждые 2800 м. Следовательно, задача сводится к нахождению $НОК(2400, 2800)$.

Для этого разложим оба числа на простые множители:
$2400 = 24 \cdot 100 = (8 \cdot 3) \cdot (10 \cdot 10) = (2^3 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5^2 = 2^5 \cdot 3 \cdot 5^2$
$2800 = 28 \cdot 100 = (4 \cdot 7) \cdot (10 \cdot 10) = (2^2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 7 \cdot 2^2 \cdot 5^2 = 2^4 \cdot 5^2 \cdot 7$

Теперь найдем НОК. Для этого нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их.
Простые множители в разложениях: 2, 3, 5, 7.
Наибольшая степень для 2 это $2^5$.
Наибольшая степень для 3 это $3^1$.
Наибольшая степень для 5 это $5^2$.
Наибольшая степень для 7 это $7^1$.
$НОК(2400, 2800) = 2^5 \cdot 3^1 \cdot 5^2 \cdot 7^1 = 32 \cdot 3 \cdot 25 \cdot 7 = 16800$.

Таким образом, наименьшее расстояние от пункта отправления, на котором места их остановок совпадут, составляет 16800 метров.
Ответ: 16800 м.