Страница 157 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

697. Запишите все делители числа, равного произведению:

1) $2 \cdot 2 \cdot 5$;

2) $3 \cdot 5 \cdot 7$.

1) Сначала вычислим число, равное данному произведению:
$2 \cdot 2 \cdot 5 = 4 \cdot 5 = 20$.
Теперь необходимо найти все делители числа 20. Делитель – это число, на которое исходное число делится без остатка. Чтобы найти все делители, можно использовать разложение на простые множители, которое уже дано: $2 \cdot 2 \cdot 5$. Делителями будут являться 1, сами простые множители и все их возможные произведения.
Перечислим их:
1 (единица является делителем любого числа).
Простые множители из разложения: 2, 5.
Произведения множителей: $2 \cdot 2 = 4$, $2 \cdot 5 = 10$.
Само число: $2 \cdot 2 \cdot 5 = 20$.
Запишем все найденные делители в порядке возрастания: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
Ответ: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

2) Сначала вычислим число, равное данному произведению:
$3 \cdot 5 \cdot 7 = 15 \cdot 7 = 105$.
Теперь необходимо найти все делители числа 105. Разложение числа 105 на простые множители дано в условии: $3 \cdot 5 \cdot 7$. Делителями будут являться 1, сами простые множители и все их возможные произведения.
Перечислим их:
1.
Простые множители: 3, 5, 7.
Произведения пар простых множителей: $3 \cdot 5 = 15$, $3 \cdot 7 = 21$, $5 \cdot 7 = 35$.
Произведение всех трех множителей (само число): $3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$.
Запишем все найденные делители в порядке возрастания: 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105.
Ответ: 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105.

698. Запишите все делители числа, равного произведению:

1) $2 \cdot 5 \cdot 13$;

2) $3 \cdot 3 \cdot 7$.

1) Чтобы найти все делители числа, равного произведению $2 \cdot 5 \cdot 13$, сначала вычислим значение этого произведения: $2 \cdot 5 \cdot 13 = 10 \cdot 13 = 130$. Делители числа 130 можно найти, составляя все возможные произведения из его простых множителей (2, 5, 13). Начнем с 1, который является делителем любого числа. Затем идут сами простые множители: 2, 5, 13. Далее идут произведения пар простых множителей: $2 \cdot 5 = 10$, $2 \cdot 13 = 26$, $5 \cdot 13 = 65$. Наконец, произведение всех трех множителей, которое равно самому числу: $2 \cdot 5 \cdot 13 = 130$. Расположив все найденные делители в порядке возрастания, получаем следующий ряд: 1, 2, 5, 10, 13, 26, 65, 130. Ответ: 1, 2, 5, 10, 13, 26, 65, 130.

2) Найдем все делители числа, равного произведению $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7$. Сначала вычислим значение этого произведения: $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 27 \cdot 7 = 189$. Разложение числа 189 на простые множители имеет вид $3^3 \cdot 7^1$. Любой делитель этого числа будет произведением степеней его простых множителей, то есть $3^a \cdot 7^b$, где $a \in \{0, 1, 2, 3\}$ и $b \in \{0, 1\}$. Переберем все возможные комбинации: $3^0 \cdot 7^0 = 1$, $3^1 \cdot 7^0 = 3$, $3^2 \cdot 7^0 = 9$, $3^3 \cdot 7^0 = 27$, $3^0 \cdot 7^1 = 7$, $3^1 \cdot 7^1 = 21$, $3^2 \cdot 7^1 = 63$, $3^3 \cdot 7^1 = 189$. Расположив все делители в порядке возрастания, получаем: 1, 3, 7, 9, 21, 27, 63, 189. Ответ: 1, 3, 7, 9, 21, 27, 63, 189.

699. На тарелки, которых было меньше 10, разложили поровну 65 слив. Сколько было тарелок?

По условию задачи, 65 слив разложили поровну на несколько тарелок. Это означает, что количество тарелок должно быть делителем числа 65.

Найдем все натуральные делители числа 65. Для этого разложим 65 на простые множители: $65 = 5 \cdot 13$.

Следовательно, делителями числа 65 являются: 1, 5, 13, 65.

В задаче также указано, что количество тарелок было меньше 10. Сравним найденные делители с числом 10:

• 1 < 10
• 5 < 10
• 13 > 10
• 65 > 10

Условию "меньше 10" удовлетворяют два числа: 1 и 5.

Однако в тексте задачи слово "тарелки" используется во множественном числе, что подразумевает, что тарелка была не одна. Поэтому вариант с 1 тарелкой мы исключаем.

Таким образом, единственным подходящим вариантом является 5 тарелок. В этом случае на каждой тарелке будет лежать по $65 / 5 = 13$ слив.

Ответ: 5 тарелок.

700. На железнодорожные платформы, которых было больше 15, нагрузили поровну 119 контейнеров. Сколько контейнеров нагрузили на одну платформу?

Пусть $N$ — количество железнодорожных платформ, а $K$ — количество контейнеров, нагруженных на одну платформу.

Согласно условию задачи, общее количество контейнеров равно 119. Контейнеры были распределены поровну, поэтому общее количество контейнеров равно произведению числа платформ на число контейнеров на каждой платформе. Мы можем записать это в виде уравнения:

$N \times K = 119$

Также из условия известно, что количество платформ было больше 15:

$N > 15$

Поскольку количество платформ $N$ и количество контейнеров на платформе $K$ должны быть целыми положительными числами, то $N$ должно быть делителем общего числа контейнеров, то есть 119.

Чтобы найти все возможные значения $N$, найдём все натуральные делители числа 119. Для этого разложим 119 на простые множители. Проверим делимость на простые числа по порядку:

1. Число 119 нечётное, следовательно, не делится на 2.

2. Сумма цифр числа 119 ($1+1+9=11$) не делится на 3, значит, и 119 не делится на 3.

3. Число 119 не оканчивается на 0 или 5, значит, оно не делится на 5.

4. Проверим деление на 7: $119 \div 7 = 17$.

Таким образом, разложение числа 119 на простые множители: $119 = 7 \times 17$.

Все натуральные делители числа 119 — это 1, 7, 17, 119.

Теперь выберем из этих делителей те, которые удовлетворяют условию $N > 15$. Этому условию удовлетворяют два числа: 17 и 119. Следовательно, существуют два возможных варианта решения задачи.

Случай 1: Количество платформ $N = 17$.
В этом случае количество контейнеров на одной платформе $K$ равно:
$K = 119 \div N = 119 \div 17 = 7$.
Этот вариант удовлетворяет всем условиям задачи: 17 платформ (что больше 15), и на каждой по 7 контейнеров.

Случай 2: Количество платформ $N = 119$.
В этом случае количество контейнеров на одной платформе $K$ равно:
$K = 119 \div N = 119 \div 119 = 1$.
Этот вариант также удовлетворяет всем условиям задачи: 119 платформ (что больше 15), и на каждой по 1 контейнеру.

В условии задачи нет дополнительной информации, которая позволила бы однозначно выбрать один из двух вариантов. Однако в подобных задачах обычно подразумевается нетривиальное решение (в котором количество предметов в каждой группе больше одного). Поэтому наиболее вероятным ответом, который ожидается в качестве решения, является 7.

Ответ: 7

701. Решите уравнение:

1) $4x + 5x + 47 = 164$;

2) $7x - 4x + 46 = 211$;

3) $(358 - x) : 21 = 13$;

4) $9(223 - x) = 1701$.

1) $4x + 5x + 47 = 164$
Сначала упростим левую часть уравнения, сложив подобные слагаемые (члены с $x$):
$(4 + 5)x + 47 = 164$
$9x + 47 = 164$
Теперь, чтобы найти неизвестное слагаемое $9x$, вычтем из суммы (164) известное слагаемое (47):
$9x = 164 - 47$
$9x = 117$
Чтобы найти неизвестный множитель $x$, разделим произведение (117) на известный множитель (9):
$x = 117 : 9$
$x = 13$
Ответ: 13

2) $7x - 4x + 46 = 211$
Упростим левую часть, выполнив вычитание подобных слагаемых:
$(7 - 4)x + 46 = 211$
$3x + 46 = 211$
Найдем неизвестное слагаемое $3x$, вычтя из суммы (211) известное слагаемое (46):
$3x = 211 - 46$
$3x = 165$
Найдем неизвестный множитель $x$, разделив произведение (165) на известный множитель (3):
$x = 165 : 3$
$x = 55$
Ответ: 55

3) $(358 - x) : 21 = 13$
В этом уравнении неизвестное $x$ находится в делимом. Чтобы найти делимое $(358 - x)$, нужно частное (13) умножить на делитель (21):
$358 - x = 13 \cdot 21$
$358 - x = 273$
Теперь у нас есть уравнение, где $x$ — неизвестное вычитаемое. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого (358) вычесть разность (273):
$x = 358 - 273$
$x = 85$
Ответ: 85

4) $9(223 - x) = 1701$
Здесь выражение в скобках $(223 - x)$ является неизвестным множителем. Чтобы его найти, нужно произведение (1701) разделить на известный множитель (9):
$223 - x = 1701 : 9$
$223 - x = 189$
Теперь $x$ — неизвестное вычитаемое. Чтобы найти $x$, нужно из уменьшаемого (223) вычесть разность (189):
$x = 223 - 189$
$x = 34$
Ответ: 34

702. Школьники Василий, Андрей, Дмитрий и Сергей собрали 326 кг яблок. Василий собрал 37 кг яблок, что в 3 раза меньше, чем Андрей, а Дмитрий и Сергей собрали яблок поровну. Кто из школьников собрал больше яблок?

Для того чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо последовательно рассчитать, сколько килограммов яблок собрал каждый школьник.

1. Найдем, сколько килограммов яблок собрал Андрей.

По условию, Василий собрал 37 кг яблок, что в 3 раза меньше, чем Андрей. Это означает, что Андрей собрал в 3 раза больше яблок, чем Василий. Умножим количество яблок Василия на 3:

$37 \text{ кг} \times 3 = 111 \text{ кг}$

Таким образом, Андрей собрал 111 кг яблок.

2. Найдем, сколько килограммов яблок собрали Дмитрий и Сергей вместе.

Сначала определим, сколько яблок собрали Василий и Андрей вместе:

$37 \text{ кг} + 111 \text{ кг} = 148 \text{ кг}$

Теперь вычтем эту сумму из общего количества собранных яблок (326 кг), чтобы найти остаток, который приходится на Дмитрия и Сергея:

$326 \text{ кг} - 148 \text{ кг} = 178 \text{ кг}$

Значит, Дмитрий и Сергей вместе собрали 178 кг яблок.

3. Найдем, сколько килограммов яблок собрал каждый из них — Дмитрий и Сергей.

В условии сказано, что Дмитрий и Сергей собрали яблок поровну. Разделим их общее количество на 2:

$178 \text{ кг} \div 2 = 89 \text{ кг}$

Следовательно, и Дмитрий, и Сергей собрали по 89 кг яблок.

4. Сравним количество собранных яблок и определим, кто собрал больше всех.

Теперь у нас есть данные по каждому школьнику:

• Василий: 37 кг
• Андрей: 111 кг
• Дмитрий: 89 кг
• Сергей: 89 кг

Сравнивая эти числа ($37 < 89 < 111$), мы видим, что наибольшее количество яблок собрал Андрей.

Ответ: больше всех яблок собрал Андрей.

703. Рабочие Иван, Пётр, Степан и Павел изготовили 160 деталей. Иван изготовил 81 деталь, что в 3 раза больше, чем Пётр, а Степан и Павел изготовили деталей поровну. Кто из рабочих изготовил меньше всех деталей?

Для того чтобы определить, кто из рабочих изготовил меньше всех деталей, необходимо последовательно найти количество деталей, сделанных каждым из них.

1. Найдем, сколько деталей изготовил Пётр.
В условии сказано, что Иван изготовил 81 деталь, и это в 3 раза больше, чем изготовил Пётр. Следовательно, чтобы найти количество деталей Петра, нужно количество деталей Ивана разделить на 3.
$81 \div 3 = 27$ (деталей)
Итак, Пётр изготовил 27 деталей.

2. Найдем, сколько деталей вместе изготовили Степан и Павел.
Сначала вычислим, сколько деталей сделали Иван и Пётр вместе:
$81 + 27 = 108$ (деталей)
Всего рабочие изготовили 160 деталей. Чтобы найти, сколько деталей приходится на Степана и Павла, вычтем из общего количества детали, изготовленные Иваном и Петром:
$160 - 108 = 52$ (детали)
Таким образом, Степан и Павел вместе изготовили 52 детали.

3. Найдем, сколько деталей изготовил каждый из них: Степан и Павел.
По условию, Степан и Павел изготовили деталей поровну. Чтобы найти, сколько деталей сделал каждый, разделим их общее количество на 2:
$52 \div 2 = 26$ (деталей)
Следовательно, Степан изготовил 26 деталей, и Павел изготовил 26 деталей.

4. Сравним результаты и определим, кто изготовил меньше всех.
Теперь у нас есть данные по каждому рабочему:
- Иван: 81 деталь
- Пётр: 27 деталей
- Степан: 26 деталей
- Павел: 26 деталей
Сравнив полученные значения ($81 > 27 > 26$), видим, что наименьшее количество деталей (26) изготовили Степан и Павел.
Ответ: меньше всех деталей изготовили Степан и Павел.

Задача от мудрой совы

704. Шахматный конь начинает свой маршрут в левом нижнем углу доски, а заканчивает его в правом верхнем углу. Может ли конь при этом побывать на всех полях доски по одному разу?

Для решения этой задачи воспользуемся методом раскраски. Шахматная доска состоит из 64 полей — 32 белых и 32 черных.

Ключевое свойство хода коня заключается в том, что он всегда перемещается с поля одного цвета на поле другого цвета. Например, с белого на черное или с черного на белое.

Маршрут, при котором конь побывает на всех полях доски по одному разу, будет состоять из 64 полей. Это означает, что конь сделает 63 хода.

Проследим за цветом полей в таком маршруте:

• 1-е поле (начальное) — имеет определенный цвет.
• 2-е поле (после 1-го хода) — будет другого цвета.
• 3-е поле (после 2-го хода) — будет того же цвета, что и начальное.
• 4-е поле (после 3-го хода) — будет другого цвета.

Можно заметить, что все нечетные по номеру в маршруте поля (1-е, 3-е, 5-е, ...) будут иметь тот же цвет, что и начальное поле. А все четные поля (2-е, 4-е, 6-е, ...) будут иметь противоположный цвет.

В нашей задаче конь начинает маршрут в левом нижнем углу (поле a1) и должен закончить его в правом верхнем углу (поле h8).

Поле a1 — черное. Поскольку конь должен обойти все 64 поля, его маршрут будет состоять из 64 шагов. Последнее, 64-е поле в этом маршруте, имеет четный номер. Следовательно, если конь начинает с черного поля, то 64-е поле в его маршруте должно быть белым.

Однако поле h8, где конь должен закончить свой путь, является черным (так же, как и a1).

Таким образом, возникает противоречие. Чтобы обойти все 64 клетки, начиная с черной клетки a1, конь должен закончить маршрут на белой клетке. Но задача требует, чтобы он закончил на черной клетке h8. Это невозможно.

Ответ: Нет, не может.