Номер 724, страница 161 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 26. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Раздел I. Натуральные числа и действия над ними - номер 724, страница 161.

724. Собирая подарки к Новому году, сотрудники магазина увидели, что имеющиеся конфеты можно разложить поровну по 15 штук или по 20 штук в один подарок. Сколько было конфет, если известно, что их было больше 600 и меньше 700?

Пусть $N$ — искомое количество конфет. По условию задачи, конфеты можно разложить поровну по 15 штук или по 20 штук. Это означает, что число $N$ должно делиться нацело и на 15, и на 20. Следовательно, $N$ является общим кратным чисел 15 и 20.

Для нахождения всех общих кратных сначала найдем наименьшее общее кратное (НОК) чисел 15 и 20.

Разложим числа 15 и 20 на простые множители:
$15 = 3 \cdot 5$
$20 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$

Чтобы найти НОК, нужно взять все простые множители, входящие в разложения, в их наивысших степенях и перемножить их:
$НОК(15, 20) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 15 = 60$.

Таким образом, общее количество конфет $N$ должно быть кратно 60. То есть, $N$ может быть равно $60, 120, 180, ...$ и так далее. Формально, $N = 60 \cdot k$, где $k$ — натуральное число.

В задаче также указано, что количество конфет было больше 600 и меньше 700. Запишем это в виде двойного неравенства:
$600 < N < 700$.

Подставим $N = 60 \cdot k$ в это неравенство:
$600 < 60 \cdot k < 700$.

Разделим все части неравенства на 60, чтобы найти возможное значение $k$:
$\frac{600}{60} < k < \frac{700}{60}$
$10 < k < 11 \frac{40}{60}$
$10 < k < 11 \frac{2}{3}$

Единственное целое число $k$, которое удовлетворяет этому неравенству, это $k = 11$.

Теперь найдем количество конфет $N$:
$N = 60 \cdot k = 60 \cdot 11 = 660$.

Проверим, удовлетворяет ли число 660 всем условиям задачи:
1. Делится ли на 15? $660 \div 15 = 44$. Да.
2. Делится ли на 20? $660 \div 20 = 33$. Да.
3. Находится ли в интервале (600, 700)? $600 < 660 < 700$. Да.

Все условия выполнены.

Ответ: 660 конфет.