Номер 728, страница 161 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 26. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Раздел I. Натуральные числа и действия над ними - номер 728, страница 161.

728. Докажите, что значение выражения $101^{2023} - 6$ делится нацело на 5.

Для того чтобы доказать, что значение выражения $101^{2023} - 6$ делится нацело на 5, воспользуемся признаком делимости на 5: число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 0 или 5. Определим последнюю цифру значения данного выражения.

1. Найдем последнюю цифру числа $101^{2023}$.

Последняя цифра любой натуральной степени числа зависит только от последней цифры его основания. Основание степени — число 101, которое оканчивается на цифру 1.

При возведении в любую натуральную степень числа, оканчивающегося на 1, результат также будет оканчиваться на 1. Рассмотрим это на примерах:

$101^1 = 101$

$101^2 = 101 \times 101 = 10201$

$101^3 = 10201 \times 101 = 1030301$

В общем виде, при умножении числа, оканчивающегося на 1, на другое число, оканчивающееся на 1, последняя цифра произведения будет $1 \times 1 = 1$. Следовательно, число $101^{2023}$ оканчивается на цифру 1.

2. Найдем последнюю цифру разности $101^{2023} - 6$.

Мы установили, что уменьшаемое $101^{2023}$ — это число, которое оканчивается на 1. Нам нужно из этого числа вычесть 6. При вычитании 6 из числа, оканчивающегося на 1, последняя цифра результата всегда будет 5. Например, $11 - 6 = 5$, $21 - 6 = 15$, $101 - 6 = 95$. Значит, значение выражения $101^{2023} - 6$ оканчивается на 5.

3. Вывод.

Поскольку значение выражения $101^{2023} - 6$ оканчивается на цифру 5, оно делится нацело на 5.

Ответ: Значение выражения $101^{2023} - 6$ оканчивается на 5, следовательно, оно делится нацело на 5, что и требовалось доказать.